Численные задачи 2

В предыдущей главе мы обсудили параметры, используемые в угловой модуляции. Каждый параметр имеет свою формулу. Используя эти формулы, мы можем найти соответствующие значения параметров. В этой главе давайте решим несколько проблем, основанных на концепции частотной модуляции.

Проблема 1

Синусоидальный модулирующий сигнал с амплитудой 5 В и частотой 2 кГц подается на ЧМ-генератор, который имеет частотную чувствительность 40 Гц / вольт. Рассчитайте отклонение частоты, индекс модуляции и ширину полосы.

Решение

Дана амплитуда модулирующего сигнала, $A_m = 5V$

Частота модулирующего сигнала, $f_m = 2 кГц$

Чувствительность по частоте, $k_f = 40 Гц / вольт$

Мы знаем формулу для отклонения частоты как

$$\ Delta f = k_f A_m$$

Замените значения $k_f$ и $A_m$ в приведенной выше формуле.

$$\ Delta f = 40 \ times 5 = 200 Гц$$

Следовательно, отклонение частоты , $\ Delta f$, составляет $ 200 Гц.

Формула для индекса модуляции

$$\ beta = \ frac {\ Delta f} {f_m}$$

Подставьте значения $\ Delta f$ и $f_m$ в приведенной выше формуле.

$$\ beta = \ frac {200} {2 \ times 1000} = 0.1$$

Здесь значение индекса модуляции $\ beta$ равно 0,1, что меньше единицы. Следовательно, это узкополосный FM.

Формула для полосы пропускания узкополосного ЧМ такая же, как и для волны AM.

$$BW = 2f_m$$

Замените значение $f_m$ в приведенной выше формуле.

$$BW = 2 \ times 2K = 4 кГц$$

Следовательно, ширина полосы частот узкополосной ЧМ волны составляет 4 кГц.

Проблема 2

Волна ЧМ определяется как $s \ left (t \ right) = 20 \ cos \ left (8 \ pi \ times10 ^ 6t + 9 \ sin \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3 t \ right) \ right )$. Рассчитайте отклонение частоты, ширину полосы и мощность FM-волны.

Решение

Учитывая, уравнение FM-волны как

$$s \ left (t \ right) = 20 \ cos \ left (8 \ pi \ times10 ^ 6t + 9 \ sin \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3 t \ right) \ right)$$

Мы знаем стандартное уравнение FM-волны как

$$s \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct + \ beta \ sin \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right)$$

Мы получим следующие значения, сравнивая два приведенных выше уравнения.

Амплитуда несущего сигнала, $A_c = 20 В$

Частота несущего сигнала, $f_c = 4 \ 10 × 6 Гц = 4 МГц$

Частота сигнала сообщения, $f_m = 1 \ умножение на 10 ^ 3 Гц = 1 кГц$

Индекс модуляции, $\ beta = 9$

Здесь значение индекса модуляции больше единицы. Следовательно, это широкополосный FM .

Мы знаем формулу для индекса модуляции как

$$\ beta = \ frac {\ Delta f} {f_m}$$

Переставьте приведенное выше уравнение следующим образом.

$$\ Delta = \ beta f_m$$

Замените значения $\ beta$ и $f_m$ в приведенном выше уравнении.

$$\ Delta = 9 \ times 1K = 9 кГц$$

Следовательно, отклонение частоты $\ Delta f$ составляет $ 9 кГц.

Формула для полосы пропускания широкополосной FM-волны

$$BW = 2 \ left (\ beta +1 \ right) f_m$$

Замените значения $\ beta$ и $f_m$ в приведенной выше формуле.

$$BW = 2 \ left (9 +1 \ right) 1K = 20 кГц$$

Таким образом, полоса пропускания широкополосной FM-волны составляет 20 кГц.

Формула для мощности FM-волны

$$P_c = \ frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R}$$

Предположим, $R = 1 \ Omega$ и подставим значение $A_c$ в вышеприведенное уравнение.

$$P = \ frac {\ left (20 \ right) ^ 2} {2 \ left (1 \ right)} = 200 Вт$$

Следовательно, мощность FM-волны составляет 200 долларов США.