Численные задачи 1

В предыдущей главе мы обсудили параметры, используемые в амплитудной модуляции. Каждый параметр имеет свою формулу. Используя эти формулы, мы можем найти соответствующие значения параметров. В этой главе давайте решим несколько проблем, основанных на концепции амплитудной модуляции.

Проблема 1

Модулирующий сигнал $m \ left (t \ right) = 10 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3 t \ right)$ амплитудно модулируется несущим сигналом $c \ left (t \ right) = 50 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 5 т \ вправо)$. Найти индекс модуляции, мощность несущей и мощность, необходимую для передачи AM-волны.

Решение

Дано уравнение модулирующего сигнала как

$$m \ left (t \ right) = 10 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3 t \ right)$$

Мы знаем стандартное уравнение модулирующего сигнала как

$$m \ left (t \ right) = A_m \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right)$$

Сравнивая два приведенных выше уравнения, получим

Амплитуда модулирующего сигнала как $A_m = 10 вольт$

и частота модулирующего сигнала как $$f_m = 10 ^ 3 Гц = 1 кГц$$

Учитывая, уравнение несущего сигнала

$$c \ left (t \ right) = 50 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 5t \ right)$$

Стандартное уравнение несущего сигнала

$$c \ left (t \ right) = A_c \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right)$$

Сравнивая эти два уравнения, мы получим

Амплитуда несущего сигнала в виде $A_c = 50 вольт$

и частота несущего сигнала как $f_c = 10 ^ 5 Гц = 100 кГц$

Мы знаем формулу для индекса модуляции как

$$\ mu = \ frac {A_m} {A_c}$$

Подставим значения $A_m$ и $A_c$ в приведенной выше формуле.

$$\ му = \ гидроразрыва {10} {50} = 0.2$$

Следовательно, значение индекса модуляции составляет 0,2, а процент модуляции составляет 20%.

Формула для мощности несущей $P_c =$ равна

$$P_c = \ гидроразрыва {{A_ {с}} ^ {2}} {2R}$$

Предположим, что $R = 1 \ Omega$ и подставим значение $A_c$ в приведенную выше формулу.

$$P_c = \ frac {\ left (50 \ right) ^ 2} {2 \ left (1 \ right)} = 1250 Вт$$

Следовательно, мощность несущей , $P_c$, составляет 1250 Вт .

Мы знаем, что формула для мощности, необходимой для передачи АМ волны, равна

$$\ Rightarrow P_t = P_c \ left (1+ \ frac {\ mu ^ 2} {2} \ right)$$

Подставим значения $P_c$ и $\ mu$ в приведенную выше формулу.

$$P_t = 1250 \ left (1+ \ frac {\ left (0.2 \ right) ^ 2} {2} \ right) = 1275W$$

Следовательно, мощность, необходимая для передачи AM- волны, составляет 1275 Вт .

Проблема 2

Уравнение амплитуды волны задается как $s \ left (t \ right) = 20 \ left [1 + 0,8 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3t \ right) \ right] \ cos \ left (4 \ pi \ times 10 ^ 5t \ right)$. Найти мощность несущей, общую мощность боковой полосы и ширину полосы AM-волны.

Решение

Учитывая, уравнение амплитудно-модулированной волны

$$s \ left (t \ right) = 20 \ left [1 + 0,8 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3t \ right) \ right] \ cos \ left (4 \ pi \ times 10 ^ 5t \ право)$$

Переписать приведенное выше уравнение как

$$s \ left (t \ right) = 20 \ left [1 + 0,8 \ cos \ left (2 \ pi \ times 10 ^ 3t \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi \ times 2 \ times 10 ^ 5т \ справа)$$

Мы знаем, что уравнение амплитудно-модулированной волны

$$s \ left (t \ right) = A_c \ left [1+ \ mu \ cos \ left (2 \ pi f_mt \ right) \ right] \ cos \ left (2 \ pi f_ct \ right)$$

Сравнивая два приведенных выше уравнения, получим

Амплитуда несущего сигнала в виде $A_c = 20 вольт$

Индекс модуляции как $\ mu = 0,8$

Частота модулирующего сигнала как $f_m = 10 ^ 3 Гц = 1 КГц$

Частота несущего сигнала как $ f_c = 2 \ умноженная на 10 ^ 5 Гц = 200 кГц

Формула для мощности несущей $P_c$ равна

$$P_c = \ гидроразрыва {{A_ {е}} ^ {2}} {2R}$$

Предположим, что $R = 1 \ Omega$ и подставим значение $A_c$ в приведенную выше формулу.

$$P_c = \ frac {\ left (20 \ right) ^ 2} {2 \ left (1 \ right)} = 200 Вт$$

Следовательно, мощность несущей , $P_c$, составляет 200 Вт .

Мы знаем, что формула для общей мощности боковой полосы

$$Р- {SB} = \ {гидроразрыва P_c \ мю ^ 2} {2}$$

Подставим значения $P_c$ и $\ mu$ в приведенную выше формулу.

$$P_ {SB} = \ frac {200 \ times \ left (0.8 \ right) ^ 2} {2} = 64 Вт$$

Следовательно, общая мощность боковой полосы составляет 64 Вт.

Мы знаем формулу для пропускной способности AM-волны

$$BW = 2f_m$$

Замените значение $f_m$ в приведенной выше формуле.

$$BW = 2 \ left (1K \ right) = 2 КГц$$

Следовательно, полоса частот AM-волны составляет 2 кГц.