1. Реальные числа
-
Обзор представления натуральных чисел
-
Целые
-
Рациональные числа на числовой линии
-
Представление заканчивающихся / не заканчивающихся повторяющихся десятичных знаков в числовой строке через последовательное увеличение
-
Рациональные числа как повторяющиеся / заканчивающиеся десятичные дроби
-
Примеры неповторяющихся / не заканчивающихся десятичных дробей
-
Существование нерациональных чисел (иррациональных чисел), таких как √2, √3 и их представление на числовой линии
-
Объясняя, что каждое действительное число представлено уникальной точкой на числовой линии и, наоборот, каждая точка на числовой линии представляет уникальное действительное число
-
Существование √x для данного положительного действительного числа x (визуальное доказательство должно быть подчеркнуто)
-
Определение n-го корня действительного числа
-
Напомним законы законов с целыми степенями
-
Рациональные показатели с положительными реальными основаниями (должны выполняться в конкретных случаях, позволяя учащемуся прийти к общим законам)
-
Рационализация (с точным значением) действительных чисел типа 1 / (a + b√x) и 1 / (√x + √y) (и их комбинаций), где x и y — натуральные числа, а a и b — целые числа
Обзор представления натуральных чисел
Целые
Рациональные числа на числовой линии
Представление заканчивающихся / не заканчивающихся повторяющихся десятичных знаков в числовой строке через последовательное увеличение
Рациональные числа как повторяющиеся / заканчивающиеся десятичные дроби
Примеры неповторяющихся / не заканчивающихся десятичных дробей
Существование нерациональных чисел (иррациональных чисел), таких как √2, √3 и их представление на числовой линии
Объясняя, что каждое действительное число представлено уникальной точкой на числовой линии и, наоборот, каждая точка на числовой линии представляет уникальное действительное число
Существование √x для данного положительного действительного числа x (визуальное доказательство должно быть подчеркнуто)
Определение n-го корня действительного числа
Напомним законы законов с целыми степенями
Рациональные показатели с положительными реальными основаниями (должны выполняться в конкретных случаях, позволяя учащемуся прийти к общим законам)
Рационализация (с точным значением) действительных чисел типа 1 / (a + b√x) и 1 / (√x + √y) (и их комбинаций), где x и y — натуральные числа, а a и b — целые числа
Блок II: Алгебра
1. Полиномы
-
Определение многочлена от одной переменной с примерами и контрпримерами
-
Коэффициенты многочлена, члены многочлена и нулевой многочлен
-
Степень полинома
-
Постоянные, линейные, квадратичные и кубические полиномы
-
Мономы, биномы, триномы
-
Факторы и коэффициенты
-
Нули полинома
-
Мотивируйте и сформулируйте теорему об остатках с примерами
-
Утверждение и доказательство теоремы о факторе
-
Факторизация ax 2 + bx + c, a ≠ 0, где a, b и c — действительные числа, и кубических полиномов с использованием теоремы фактора
-
Отзыв на алгебраические выражения и тождества
-
Дальнейшая проверка тождеств типа (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx, (x ± y) 3 = x 3 ± y 3 ± 3xy (x ± y) , x 3 ± y 3 = (x ± y) (x 2 ± xy + y 2 ), x 3 + y 3 + z 3 — 3xyz = (x + y + z) (x 2 + y 2 + z 2 — xy — yz — zx) и их использование при факторизации полиномов
-
Простые выражения, приводимые к этим полиномам
Определение многочлена от одной переменной с примерами и контрпримерами
Коэффициенты многочлена, члены многочлена и нулевой многочлен
Степень полинома
Постоянные, линейные, квадратичные и кубические полиномы
Мономы, биномы, триномы
Факторы и коэффициенты
Нули полинома
Мотивируйте и сформулируйте теорему об остатках с примерами
Утверждение и доказательство теоремы о факторе
Факторизация ax 2 + bx + c, a ≠ 0, где a, b и c — действительные числа, и кубических полиномов с использованием теоремы фактора
Отзыв на алгебраические выражения и тождества
Дальнейшая проверка тождеств типа (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2zx, (x ± y) 3 = x 3 ± y 3 ± 3xy (x ± y) , x 3 ± y 3 = (x ± y) (x 2 ± xy + y 2 ), x 3 + y 3 + z 3 — 3xyz = (x + y + z) (x 2 + y 2 + z 2 — xy — yz — zx) и их использование при факторизации полиномов
Простые выражения, приводимые к этим полиномам
Блок III: Геометрия
1. Введение в геометрию Евклида
-
История — Геометрия в Индии и геометрия Евклида
-
Метод Евклида формализации наблюдаемого явления в строгую математику с определениями, общими / очевидными понятиями, аксиомами / постулатами и теоремами
-
Пять постулатов Евклида
-
Эквивалентные версии пятого постулата
-
Показывает связь между аксиомой и теоремой, например —
-
(Аксиома) 1. Учитывая две различные точки, существует одна и только одна линия через них
-
(Теорема) 2. (Докажите) Две разные линии не могут иметь более одной общей точки
-
История — Геометрия в Индии и геометрия Евклида
Метод Евклида формализации наблюдаемого явления в строгую математику с определениями, общими / очевидными понятиями, аксиомами / постулатами и теоремами
Пять постулатов Евклида
Эквивалентные версии пятого постулата
Показывает связь между аксиомой и теоремой, например —
(Аксиома) 1. Учитывая две различные точки, существует одна и только одна линия через них
(Теорема) 2. (Докажите) Две разные линии не могут иметь более одной общей точки
2. Линии и углы
-
(Мотивировать) Если луч стоит на линии, то сумма двух смежных углов, образованных таким образом, равна 180 o, и наоборот
-
(Докажите) Если две линии пересекаются, вертикально противоположные углы равны
-
(Мотивировать) Результаты по соответствующим углам, альтернативным углам, внутренним углам, когда трансверсаль пересекает две параллельные линии
-
(Мотивировать) Линии, параллельные данной линии, параллельны
-
(Доказательство) Сумма углов треугольника равна 180 o
-
(Мотивировать) Если создается сторона треугольника, внешний угол, сформированный таким образом, равен сумме двух внутренних противоположных углов
(Мотивировать) Если луч стоит на линии, то сумма двух смежных углов, образованных таким образом, равна 180 o, и наоборот
(Докажите) Если две линии пересекаются, вертикально противоположные углы равны
(Мотивировать) Результаты по соответствующим углам, альтернативным углам, внутренним углам, когда трансверсаль пересекает две параллельные линии
(Мотивировать) Линии, параллельные данной линии, параллельны
(Доказательство) Сумма углов треугольника равна 180 o
(Мотивировать) Если создается сторона треугольника, внешний угол, сформированный таким образом, равен сумме двух внутренних противоположных углов
3. Треугольники
-
(Мотивировать) Два треугольника являются конгруэнтными, если любые две стороны и включенный угол одного треугольника равны любым двум сторонам и включенному углу другого треугольника (SAS Congruence)
-
(Доказательство) Два треугольника являются конгруэнтными, если любые два угла и включенная сторона одного треугольника равна любым двум углам и включенной стороне другого треугольника (ASA Congruence)
-
(Мотивировать) Два треугольника являются конгруэнтными, если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (SSS Congruence)
-
(Мотивировать) Два прямоугольных треугольника конгруэнтны, если гипотенуза и сторона одного треугольника равны (соответственно) гипотенузе и стороне другого треугольника
-
(Доказательство) Углы, противоположные равным сторонам треугольника, равны
-
(Мотивировать) Стороны, противоположные равным углам треугольника, равны
-
(Мотивировать) Неравенства треугольника и связь между неравенствами «угол и обращенная сторона» в треугольниках
(Мотивировать) Два треугольника являются конгруэнтными, если любые две стороны и включенный угол одного треугольника равны любым двум сторонам и включенному углу другого треугольника (SAS Congruence)
(Доказательство) Два треугольника являются конгруэнтными, если любые два угла и включенная сторона одного треугольника равна любым двум углам и включенной стороне другого треугольника (ASA Congruence)
(Мотивировать) Два треугольника являются конгруэнтными, если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника (SSS Congruence)
(Мотивировать) Два прямоугольных треугольника конгруэнтны, если гипотенуза и сторона одного треугольника равны (соответственно) гипотенузе и стороне другого треугольника
(Доказательство) Углы, противоположные равным сторонам треугольника, равны
(Мотивировать) Стороны, противоположные равным углам треугольника, равны
(Мотивировать) Неравенства треугольника и связь между неравенствами «угол и обращенная сторона» в треугольниках
Блок IV: Координатная геометрия
1. Координатная геометрия
-
Декартова плоскость, координаты точки, имена и термины, связанные с координатной плоскостью, обозначения, построение точек на плоскости.
Декартова плоскость, координаты точки, имена и термины, связанные с координатной плоскостью, обозначения, построение точек на плоскости.
Блок V: Измерение
1. Районы
-
Площадь треугольника по формуле Герона (без доказательства) и ее применение при поиске площади четырехугольника.
Площадь треугольника по формуле Герона (без доказательства) и ее применение при поиске площади четырехугольника.
Второй семестр
Блок II: Алгебра
2. Линейные уравнения в двух переменных
-
Напомним линейные уравнения в одной переменной
-
Введение в уравнение с двумя переменными
-
Сосредоточиться на линейных уравнениях типа ax + by + c = 0
-
Докажите, что линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечно много решений, и обоснуйте их в виде упорядоченных пар вещественных чисел, вычерчивая их и показывая, что они кажутся лежащими на прямой.
-
Примеры, проблемы из реальной жизни, в том числе проблемы с отношением и пропорциями, а также с алгебраическими и графическими решениями, выполняемыми одновременно
Напомним линейные уравнения в одной переменной
Введение в уравнение с двумя переменными
Сосредоточиться на линейных уравнениях типа ax + by + c = 0
Докажите, что линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечно много решений, и обоснуйте их в виде упорядоченных пар вещественных чисел, вычерчивая их и показывая, что они кажутся лежащими на прямой.
Примеры, проблемы из реальной жизни, в том числе проблемы с отношением и пропорциями, а также с алгебраическими и графическими решениями, выполняемыми одновременно
Блок III: Геометрия
4. Четырехугольники
-
(Доказательство) Диагональ делит параллелограмм на два конгруэнтных треугольника
-
(Мотивировать) В параллелограмме противоположные стороны равны, и наоборот
-
(Мотивировать) В параллелограмме противоположные углы равны, и наоборот
-
(Мотивировать) Четырехугольник — это параллелограмм, если пара его противоположных сторон параллельна и равна
-
(Мотивировать) В параллелограмме диагонали делят пополам друг на друга и наоборот
-
(Мотивировать) В треугольнике отрезок, соединяющий средние точки любых двух сторон, параллелен третьей стороне и (мотивировать) ее противоположность.
(Доказательство) Диагональ делит параллелограмм на два конгруэнтных треугольника
(Мотивировать) В параллелограмме противоположные стороны равны, и наоборот
(Мотивировать) В параллелограмме противоположные углы равны, и наоборот
(Мотивировать) Четырехугольник — это параллелограмм, если пара его противоположных сторон параллельна и равна
(Мотивировать) В параллелограмме диагонали делят пополам друг на друга и наоборот
(Мотивировать) В треугольнике отрезок, соединяющий средние точки любых двух сторон, параллелен третьей стороне и (мотивировать) ее противоположность.
5. Площадь
Пересмотреть понятие площади, вспомнить площадь прямоугольника
-
(Докажите) Параллелограммы на одной базе и между одинаковыми параллелями имеют одинаковую площадь
-
(Мотивировать) Треугольники на одной (или равной основе) основе и между одинаковыми параллелями равны по площади
(Докажите) Параллелограммы на одной базе и между одинаковыми параллелями имеют одинаковую площадь
(Мотивировать) Треугольники на одной (или равной основе) основе и между одинаковыми параллелями равны по площади
6. Круги
Посредством примеров получите определения понятий, связанных с окружностью, радиусом, окружностью, диаметром, хордой, дугой, секущим, сектором, сегментным углом.
-
(Докажите) Равные хорды окружности образуют равные углы в центре и (мотивируют) его противоположность
-
(Мотивировать) Перпендикуляр от центра круга к хорде делит аккорд на две части, и наоборот, линия, проведенная через центр круга для деления аккорда, перпендикулярна хорде
-
(Мотивировать) Один и только один круг проходит через три заданные неколлинеарные точки
-
(Мотивировать) Равные аккорды круга (или конгруэнтных кругов) равноудалены от центра (или их соответствующих центров) и наоборот
-
(Доказательство) Угол, образованный дугой в центре, в два раза больше угла, который он имеет в любой точке оставшейся части круга.
-
(Мотивировать) Углы в одном сегменте круга равны
-
(Мотивировать) Если отрезок, соединяющий две точки, составляет равный угол в двух других точках, лежащих на одной стороне линии, содержащей отрезок, четыре точки лежат на окружности.
-
(Мотивировать) Сумма любой из пары противоположных углов циклического четырехугольника равна 180 o и ее обратное.
(Докажите) Равные хорды окружности образуют равные углы в центре и (мотивируют) его противоположность
(Мотивировать) Перпендикуляр от центра круга к хорде делит аккорд на две части, и наоборот, линия, проведенная через центр круга для деления аккорда, перпендикулярна хорде
(Мотивировать) Один и только один круг проходит через три заданные неколлинеарные точки
(Мотивировать) Равные аккорды круга (или конгруэнтных кругов) равноудалены от центра (или их соответствующих центров) и наоборот
(Доказательство) Угол, образованный дугой в центре, в два раза больше угла, который он имеет в любой точке оставшейся части круга.
(Мотивировать) Углы в одном сегменте круга равны
(Мотивировать) Если отрезок, соединяющий две точки, составляет равный угол в двух других точках, лежащих на одной стороне линии, содержащей отрезок, четыре точки лежат на окружности.
(Мотивировать) Сумма любой из пары противоположных углов циклического четырехугольника равна 180 o и ее обратное.
7. Конструкции
-
Построение биссектрисы отрезков и углов меры 60 o , 90 o , 45 o и т. Д., Равносторонние треугольники
-
Построение треугольника с учетом его основания, суммы / разности двух других сторон и одного базового угла
-
Построение треугольника заданного периметра и базовых углов
Построение биссектрисы отрезков и углов меры 60 o , 90 o , 45 o и т. Д., Равносторонние треугольники
Построение треугольника с учетом его основания, суммы / разности двух других сторон и одного базового угла
Построение треугольника заданного периметра и базовых углов
Блок V: Измерение
2. Поверхностные площади и объемы
Площадь поверхности и объемы —
- Кубики
- кубоиды
- Сферы (включая полусферы)
- Правые круглые цилиндры / конусы
Блок VI: Статистика
- Введение в статистику
- Сбор данных
- Представление данных —
- Табличная форма
- Разгруппированные / сгруппированные
- Гистограммы
- Гистограммы (с различной базовой длиной)
- Частотные полигоны
- Качественный анализ данных, чтобы выбрать правильную форму представления для собранных данных
- Среднее значение, медиана, режим несгруппированных данных.
Блок VII: Вероятность
-
История, повторные эксперименты и наблюдаемый частотный подход к вероятности
-
Фокус на эмпирической вероятности. (Большое количество времени должно быть посвящено групповым и индивидуальным действиям для мотивации концепции; эксперименты, которые следует извлечь из реальных ситуаций и из примеров, используемых в главе по статистике)
История, повторные эксперименты и наблюдаемый частотный подход к вероятности
Фокус на эмпирической вероятности. (Большое количество времени должно быть посвящено групповым и индивидуальным действиям для мотивации концепции; эксперименты, которые следует извлечь из реальных ситуаций и из примеров, используемых в главе по статистике)
Чтобы скачать PDF нажмите здесь .