Мы получим четыре термина булевых произведений, объединив две переменные x и y с логической операцией AND. Эти булевы условия продукта называются минимальными условиями или стандартными условиями продукта . Минимальные термины: x’y ‘, x’y, xy’ и xy.
Аналогично, мы получим четыре члена с булевой суммой, объединив две переменные x и y с логической операцией ИЛИ. Эти слагаемые логической суммы называются слагаемыми Max или слагаемыми стандартной суммы . Максимальные члены: x + y, x + y ‘, x’ + y и x ‘+ y’.
В следующей таблице показано представление терминов min и MAX для 2 переменных.
| Икс | Y | Мин условия | Макс условия |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | m 0 = x’y ‘ | М 0 = х + у |
| 0 | 1 | m 1 = x’y | М 1 = х + у ‘ |
| 1 | 0 | м 2 = ху ‘ | М 2 = х ‘+ у |
| 1 | 1 | м 3 = ху | М 3 = х ‘+ у’ |
Если двоичная переменная равна ‘0’, то она представляется как дополнение переменной в минимальный срок и как сама переменная в максимальный срок. Точно так же, если двоичная переменная равна ‘1’, то она представляется как дополнение переменной в термине Max и как сама переменная в минимальном члене.
Из приведенной выше таблицы легко заметить, что минимальные термины и максимальные термины являются дополнением друг друга. Если есть ‘n’ булевых переменных, то будет 2 n минимальных члена и 2 n максимальных члена.
Канонические формы SoP и PoS
Таблица истинности состоит из набора входов и выходов. Если есть n входных переменных, то будет 2 n возможных комбинаций с нулями и единицами. Таким образом, значение каждой выходной переменной зависит от комбинации входных переменных. Таким образом, каждая выходная переменная будет иметь «1» для некоторой комбинации входных переменных и «0» для некоторой другой комбинации входных переменных.
Следовательно, мы можем выразить каждую выходную переменную следующими двумя способами.
- Каноническая форма SoP
- Каноническая форма PoS
Каноническая форма SoP
Форма Canonical SoP означает форму Canonical Sum of Products. В этой форме каждый термин продукта содержит все литералы. Таким образом, эти условия продукта являются ничем иным, как минимальными условиями. Следовательно, каноническая форма SoP также называется суммой формы минимальных членов .
Сначала определите минимальные условия, для которых выходная переменная равна единице, а затем выполните логическое ИЛИ этих минимальных условий, чтобы получить логическое выражение (функцию), соответствующее этой выходной переменной. Эта булева функция будет в форме суммы минимальных членов.
Выполните ту же процедуру и для других выходных переменных, если существует более одной выходной переменной.
пример
Рассмотрим следующую таблицу истинности .
| входные | Выход | ||
|---|---|---|---|
| п | Q | р | е |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Здесь выход (f) равен «1» для четырех комбинаций входов. Соответствующие минимальные члены представляют собой p’qr, pq’r, pqr ‘, pqr. Выполнив логическое ИЛИ из этих четырех минимальных членов, мы получим булеву функцию выхода (f).
Следовательно, булева функция вывода равна f = p’qr + pq’r + pqr ‘+ pqr. Это каноническая форма вывода SoP , f. Мы также можем представить эту функцию в следующих двух обозначениях.
f=m3+m5+m6+m7
f= summ left(3,5,6,7 right)
В одном уравнении мы представили функцию как сумму соответствующих минимальных членов. В другом уравнении мы использовали символ для суммирования этих минимальных членов.
Каноническая форма PoS
Форма Canonical PoS означает форму Canonical Product of Sums. В этой форме каждый член суммы содержит все литералы. Таким образом, эти суммы сумм — это не что иное, как условия Макса. Следовательно, каноническая форма PoS также называется произведением формы Макса .
Сначала определите термины Max, для которых выходная переменная равна нулю, а затем выполните логическое И этих терминов Max, чтобы получить логическое выражение (функцию), соответствующее этой выходной переменной. Эта булева функция будет в форме произведения Макса.
Выполните ту же процедуру и для других выходных переменных, если существует более одной выходной переменной.
пример
Рассмотрим ту же таблицу истинности предыдущего примера. Здесь выход (f) равен «0» для четырех комбинаций входов. Соответствующие члены Макса: p + q + r, p + q + r ‘, p + q’ + r, p ‘+ q + r. Выполняя логическое И из этих четырех слагаемых Макса, мы получим булеву функцию выхода (f).
Следовательно, булева функция выхода равна f = (p + q + r). (P + q + r ‘). (P + q’ + r). (P ‘+ q + r). Это каноническая форма вывода PoS , f. Мы также можем представить эту функцию в следующих двух обозначениях.
F=M0.M1.M2.M4
f= prodM left(0,1,2,4 right)
В одном уравнении мы представили функцию как произведение соответствующих членов Макса. В другом уравнении мы использовали символ для умножения этих терминов Макс.
Булева функция, f = (p + q + r). (P + q + r ‘). (P + q’ + r). (P ‘+ q + r) является двойственной к булевой функции, f = p’qr + pq’r + pqr ‘+ pqr.
Следовательно, и каноническая форма SoP, и каноническая форма PoS являются двойственными по отношению друг к другу. Функционально эти две формы одинаковы. Исходя из требования, мы можем использовать одну из этих двух форм.
Стандартные формы SoP и PoS
Мы обсудили две канонические формы представления булевых выходных данных. Точно так же есть две стандартные формы представления логических выходных данных. Это упрощенная версия канонических форм.
- Стандартная форма SoP
- Стандартная форма PoS
Мы поговорим о логических элементах в следующих главах. Основным преимуществом стандартных форм является то, что количество входов, применяемых к логическим элементам, может быть минимизировано. Иногда будет происходить уменьшение общего количества требуемых логических элементов.
Стандартная форма SoP
Стандартная форма SoP означает стандартную форму суммы продуктов . В этой форме каждый термин продукта не должен содержать все литералы. Таким образом, условия продукта могут быть или не быть минимальными условиями. Поэтому стандартная форма SoP является упрощенной формой канонической формы SoP.
Мы получим стандартную форму SoP выходной переменной в два этапа.
- Получите каноническую форму выходной переменной SoP
- Упростите вышеупомянутую булеву функцию, которая находится в канонической форме SoP.
Выполните ту же процедуру и для других выходных переменных, если существует более одной выходной переменной. Иногда может оказаться невозможным упростить каноническую форму SoP. В этом случае и каноническая, и стандартная формы SoP совпадают.
пример
Преобразуйте следующую логическую функцию в стандартную форму SoP.
f = p’qr + pq’r + pqr ‘+ pqr
Данная булева функция находится в канонической форме SoP. Теперь нам нужно упростить эту булеву функцию, чтобы получить стандартную форму SoP.
Шаг 1 — Используйте булев постулат , х + х = х. Это означает, что операция логического ИЛИ с любой логической переменной n раз будет равна той же самой переменной. Итак, мы можем написать последний член pqr еще два раза.
⇒ f = p’qr + pq’r + pqr ‘+ pqr + pqr + pqr
Шаг 2 — Используйте Распределительный закон для 1- го и 4- го терминов, 2- го и 5- го терминов, 3- го и 6- го терминов.
⇒ f = qr (p ‘+ p) + pr (q’ + q) + pq (r ‘+ r)
Шаг 3 — Используйте булев постулат , x + x ‘= 1 для упрощения терминов, присутствующих в каждой скобке.
⇒ f = qr (1) + pr (1) + pq (1)
Шаг 4 — Используйте булев постулат , x.1 = x для упрощения вышеуказанных трех терминов.
⇒ f = qr + pr + pq
⇒ f = pq + qr + pr
Это упрощенная булева функция. Следовательно, стандартная форма SoP, соответствующая данной канонической форме SoP, имеет вид f = pq + qr + pr
Стандартная форма PoS
Стандартная форма PoS означает стандартную форму Суммы . В этой форме каждый член суммы не обязательно должен содержать все литералы. Таким образом, условия суммы могут быть или не быть условиями Макса. Следовательно, стандартная форма PoS является упрощенной формой канонической формы PoS.
Мы получим стандартную форму PoS выходной переменной в два этапа.
- Получить каноническую форму PoS выходной переменной
- Упростите вышеупомянутую булеву функцию, которая находится в канонической форме PoS.
Выполните ту же процедуру и для других выходных переменных, если существует более одной выходной переменной. Иногда может оказаться невозможным упростить каноническую форму PoS. В этом случае и каноническая, и стандартная формы PoS одинаковы.
пример
Преобразуйте следующую булеву функцию в стандартную форму PoS.
f = (p + q + r). (p + q + r ‘). (p + q’ + r). (p ‘+ q + r)
Данная булева функция находится в канонической форме PoS. Теперь нам нужно упростить эту булеву функцию, чтобы получить стандартную форму PoS.
Шаг 1 — Используйте булев постулат , хх = х. Это означает, что операция логического И с любой логической переменной n раз будет равна одной и той же переменной. Итак, мы можем записать первый член p + q + r еще два раза.
⇒ f = (p + q + r). (P + q + r). (P + q + r). (P + q + r ‘). (P + q’ + r). (P ‘+ q) + г)
Шаг 2 — Используйте закон распределения, x + (yz) = (x + y). (X + z) для 1- й и 4- й скобок, 2- й и 5- й скобок, 3- й и 6- й скобок.
⇒ f = (p + q + rr ‘). (P + r + qq’). (Q + r + pp ‘)
Шаг 3 — Используйте булев постулат , x.x ‘= 0 для упрощения терминов, присутствующих в каждой скобке.
⇒ f = (p + q + 0). (P + r + 0). (Q + r + 0)
Шаг 4 — Используйте булев постулат , x + 0 = x для упрощения терминов, присутствующих в каждой скобке
⇒ f = (p + q). (P + r). (Q + r)
⇒ f = (p + q). (Q + r). (P + r)
Это упрощенная булева функция. Следовательно, стандартной формой PoS, соответствующей данной канонической форме PoS, является f = (p + q). (Q + r). (P + r) . Это двойственный элемент булевой функции, f = pq + qr + pr.
Следовательно, стандартные формы SoP и стандартные формы PoS являются двойственными по отношению друг к другу.