Цифровые схемы — двухуровневая логическая реализация

Максимальное количество уровней, которые присутствуют между входами и выходами, составляет два в двухуровневой логике . Это означает, что независимо от общего количества логических вентилей максимальное количество логических вентилей, которые присутствуют (каскадируются) между любым входом и выходом, равно двум в двухуровневой логике. Здесь выходы логических вентилей первого уровня соединены как входы логических вентилей второго уровня.

Рассмотрим четыре логических элемента И, ИЛИ, НЕ и НЕ. Поскольку существует 4 логических элемента, мы получим 16 возможных способов реализации двухуровневой логики. Это И-И, И-ИЛИ, И-ИНД, И-НОР, ИЛИ-И, ИЛИ-ИЛИ, ИЛИ-НАНД, ИЛИ-НОР, НАН-И-И, НЕ-ИЛИ, НАНДНАНД, НАН-НОР, НОР-И, NOR-OR, NOR-NAND, NOR-NOR.

Эти две реализации логики уровня могут быть классифицированы в следующие две категории.

• Дегенеративная форма
• Невырожденная форма

Дегенеративная форма

Если выходные данные двухуровневой логической реализации могут быть получены с использованием одного логического элемента, то это называется вырожденной формой . Очевидно, что количество входов одного логического элемента увеличивается. За счет этого увеличивается скорость входа в ворота логики. Это преимущество дегенеративной формы.

Только 6 комбинаций двухуровневых логических реализаций из 16 комбинаций входят в дегенеративную форму. Это И-И, И-И-НЕ, ИЛИ-ИЛИ, ИЛИ-НОР, НАН-НОР, НОРНАНД.

В этом разделе давайте обсудим некоторые реализации. Предположим, что A, B, C & D являются входами, а Y — выходом в каждой логической реализации.

И-И Логика

В этой логической реализации И ворота присутствуют на обоих уровнях. Ниже на рисунке показан пример реализации логики «И-И» .

Мы получим выходные данные логических элементов первого уровня как $Y_ {1} = AB$ и $Y_ {2} = CD$

Эти выходы $Y_ {1}$ и $Y_ {2}$ применяются как входы логического элемента AND, который присутствует на втором уровне. Таким образом, выход этого логического элемента И

$$Y = Y_ {1} Y_ {2}$$

Замените значения $Y_ {1}$ и $Y_ {2}$ в приведенном выше уравнении.

$$Y = \ left (AB \ right) \ left (CD \ right)$$

$\ Rightarrow Y = ABCD$

Следовательно, результатом этой логической реализации И-И является ABCD . Эта булева функция может быть реализована с использованием логического элемента И с 4 входами. Следовательно, это дегенеративная форма .

AND-NAND Logic

В этой логической реализации логические элементы И присутствуют на первом уровне, а вентили NAND присутствуют на втором уровне. На следующем рисунке показан пример реализации логики AND-NAND .

Ранее мы получили выходные данные логических элементов первого уровня как $Y_ {1} = AB$ и $Y_ {2} = CD$

Эти выходы, $Y_ {1}$ и $Y_ {2}$, применяются в качестве входов шлюза NAND, который присутствует на втором уровне. Итак, выход этого NAND-шлюза

$$Y = {\ left (Y_ {1} Y_ {2} \ right)} '$$

Замените значения $Y_ {1}$ и $Y_ {2}$ в приведенном выше уравнении.

$$Y = {\ left (\ left (AB \ right) \ left (CD \ right) \ right)} '$$

$\ Rightarrow Y = {\ left (ABCD \ right)} '$

Следовательно, результат этой логической реализации AND-NAND равен ${\ left (ABCD \ right)} '$. Эта булева функция может быть реализована с помощью 4-входного вентиля NAND. Следовательно, это дегенеративная форма .

ИЛИ-ИЛИ Логика

В этой логической реализации вентили ИЛИ присутствуют на обоих уровнях. На следующем рисунке показан пример реализации логики OR-OR .

Мы получим выходные данные логических элементов первого уровня как $Y_ {1} = A + B$ и $Y_ {2} = C + D$.

Эти выходы $Y_ {1}$ и $Y_ {2}$ применяются как входы логического элемента ИЛИ, который присутствует на втором уровне. Таким образом, выход этого ИЛИ строба

$$Y = Y_ {1} + Y_ {2}$$

Замените значения $Y_ {1}$ и $Y_ {2}$ в приведенном выше уравнении.

$$Y = \ left (A + B \ right) + \ left (C + D \ right)$$

$\ Rightarrow Y = A + B + C + D$

Следовательно, выход этой логической реализации ИЛИ-ИЛИ является A + B + C + D. Эта булева функция может быть реализована с использованием логического элемента ИЛИ с 4 входами. Следовательно, это дегенеративная форма .

Точно так же вы можете проверить, принадлежат ли остальные реализации к этой категории или нет.

Невырожденная форма

Если выход двухуровневой логической реализации не может быть получен с использованием одного логического вентиля, то он называется невырожденной формой .

Оставшиеся 10 комбинаций двухуровневых логических реализаций имеют невырожденную форму. Это И-ИЛИ, И-ИЛИ, ИЛИ-И, ИЛИ-НАНД, НАН-И-И, НАНДОР, НАН-НАНД, НОР-И, НОР-ИЛИ, НОР-НОР.

Теперь давайте обсудим некоторые реализации. Предположим, что A, B, C & D являются входами, а Y — выходом в каждой логической реализации.

И-ИЛИ Логика

В этой логической реализации логические элементы И присутствуют на первом уровне, а вентили ИЛИ присутствуют на втором уровне. Ниже на рисунке показан пример реализации логики AND-OR .

Ранее мы получили выходные данные логических элементов первого уровня как $Y_ {1} = AB$ и $Y_ {2} = CD$.

Эти выходы Y1 и Y2 применяются как входы логического элемента ИЛИ, который присутствует на втором уровне. Таким образом, выход этого ИЛИ строба

$$Y = Y_ {1} + Y_ {2}$$

Замените значения $Y_ {1}$ и $Y_ {2}$ в приведенном выше уравнении

$$Y = АВ + CD-$$

Следовательно, результатом этой логической реализации И-ИЛИ является AB + CD . Эта логическая функция находится в форме Sum of Products . Поскольку мы не можем реализовать его с помощью одного логического вентиля, логическая реализация И-ИЛИ является невырожденной формой .

AND-NOR Logic

В этой логической реализации логические элементы И присутствуют на первом уровне, а вентили NOR присутствуют на втором уровне. На следующем рисунке показан пример реализации логики AND-NOR .

Мы знаем выходы логических элементов первого уровня как $Y_ {1} = AB$ и $Y_ {2} = CD$

Эти выходы Y1 и Y2 применяются как входы логического элемента NOR, который присутствует на втором уровне. Итак, выход этого логического элемента NOR

$$Y = {\ left (Y_ {1} + Y_ {2} \ right)} '$$

Замените значения $Y_ {1}$ и $Y_ {2}$ в приведенном выше уравнении.

$$Y = {\ left (AB + CD \ right)} '$$

Следовательно, результат этой логической реализации AND-NOR равен ${\ left (AB + CD \ right)} '$. Эта булева функция имеет форму AND-OR-Invert . Поскольку мы не можем реализовать его с помощью одного логического элемента, логическая реализация AND-NOR является невырожденной формой.

ИЛИ-И Логика

В этой логической реализации логические элементы ИЛИ присутствуют на первом уровне, а логические элементы И присутствуют на втором уровне. На следующем рисунке показан пример для логической реализации ИЛИ-И .

Ранее мы получили выходные данные логических элементов первого уровня как $Y_ {1} = A + B$ и $Y_ {2} = C + D$.

Эти выходы $Y_ {1}$ и $Y_ {2}$ применяются как входы логического элемента AND, который присутствует на втором уровне. Таким образом, выход этого логического элемента И

$$Y = Y_ {1} Y_ {2}$$

Замените значения $Y_ {1}$ и $Y_ {2}$ в приведенном выше уравнении.

$$Y = \ left (A + B \ right) \ left (C + D \ right)$$

Следовательно, выход этой логической реализации ИЛИ-И (A + B) (C + D) . Эта логическая функция находится в форме произведения сумм . Поскольку мы не можем реализовать его с помощью одного логического элемента, эта логическая реализация ИЛИ-И является невырожденной формой .

Точно так же вы можете проверить, принадлежат ли остальные реализации к этой категории или нет.