Цифровые схемы — базовые преобразования

В предыдущей главе мы видели четыре выдающихся системы счисления. В этой главе давайте преобразуем числа из одной системы счисления в другую, чтобы найти эквивалентное значение.

Преобразование десятичного числа в другие базы

Если десятичное число содержит как целую часть, так и дробную часть, то преобразуйте обе части десятичного числа в другое основание по отдельности. Выполните следующие шаги для преобразования десятичного числа в его эквивалентное число любого основания ‘r’.

• Сделайте деление целой части десятичного числа и последовательных отношений с основанием ‘r’ и запишите остатки, пока частное не станет равным нулю. Рассмотрим остатки в обратном порядке, чтобы получить целую часть эквивалентного числа основания ‘r’. Это означает, что первые и последние остатки обозначают наименее значимую цифру и наиболее значимую цифру соответственно.

• Умножьте дробную часть десятичного числа и последовательных дробей на основание ‘r’ и запишите перенос до тех пор, пока результат не станет равным нулю или не будет получено требуемое количество эквивалентных цифр. Рассмотрим нормальную последовательность переноса, чтобы получить дробную часть эквивалентного числа основания ‘r’.

Сделайте деление целой части десятичного числа и последовательных отношений с основанием ‘r’ и запишите остатки, пока частное не станет равным нулю. Рассмотрим остатки в обратном порядке, чтобы получить целую часть эквивалентного числа основания ‘r’. Это означает, что первые и последние остатки обозначают наименее значимую цифру и наиболее значимую цифру соответственно.

Умножьте дробную часть десятичного числа и последовательных дробей на основание ‘r’ и запишите перенос до тех пор, пока результат не станет равным нулю или не будет получено требуемое количество эквивалентных цифр. Рассмотрим нормальную последовательность переноса, чтобы получить дробную часть эквивалентного числа основания ‘r’.

Десятичное в двоичное преобразование

Происходят следующие два типа операций при преобразовании десятичного числа в его эквивалентное двоичное число.

• Деление целой части и последовательных отношений с основанием 2.
• Умножение дробной части и последовательных дробей с основанием 2.

пример

Рассмотрим десятичное число 58,25 . Здесь целочисленная часть равна 58, а дробная часть равна 0,25.

Шаг 1 — Деление 58 и последовательных отношений с основанием 2.

операция	частное	остаток
58/2	29	0 (LSB)
29/2	14	1
14/2	7	0
7/2	3	1
3/2	1	1
1/2	0	1 (СЗБ)

⇒ (58) ₁₀ = (111010) ₂

Следовательно, целочисленная часть эквивалентного двоичного числа равна 111010 .

Шаг 2 — Умножение 0,25 и последовательных дробей с основанием 2.

операция	Результат	Нести
0,25 х 2	0,5	0
0,5 х 2	1,0	1
—	0.0	—

⇒ (.25) ₁₀ = (.01) ₂

Следовательно, дробная часть эквивалентного двоичного числа равна 0,01.

⇒ (58.25) ₁₀ = (111010.01) ₂

Следовательно, двоичный эквивалент десятичного числа 58.25 равен 111010.01.

Десятичное в восьмеричное преобразование

Происходят следующие два типа операций при преобразовании десятичного числа в его эквивалентное восьмеричное число.

• Деление целой части и последовательных отношений с основанием 8.

• Умножение дробной части и последовательных дробей с основанием 8.

Деление целой части и последовательных отношений с основанием 8.

Умножение дробной части и последовательных дробей с основанием 8.

пример

Рассмотрим десятичное число 58,25 . Здесь целочисленная часть равна 58, а дробная часть равна 0,25.

Шаг 1 — Деление 58 и последовательных отношений с основанием 8.

операция	частное	остаток
58/8	7	2
7/8	0	7

⇒ (58) ₁₀ = (72) ₈

Следовательно, целая часть эквивалентного восьмеричного числа равна 72 .

Шаг 2 — Умножение 0,25 и последовательных дробей с основанием 8.

операция	Результат	Нести
0,25 х 8	2,00	2
—	0,00	—

⇒ (.25) ₁₀ = (.2) ₈

Следовательно, дробная часть эквивалентного восьмеричного числа равна .2

⇒ (58,25) ₁₀ = (72,2) ₈

Следовательно, восьмеричный эквивалент десятичного числа 58,25 составляет 72,2.

Десятичное в шестнадцатеричное-десятичное преобразование

Происходят следующие два типа операций при преобразовании десятичного числа в его эквивалентное шестнадцатеричное число.

• Деление целой части и последовательных отношений с основанием 16.
• Умножение дробной части и последовательных дробей с основанием 16.

пример

Рассмотрим десятичное число 58,25 . Здесь целочисленная часть равна 58, а десятичная часть равна 0,25.

Шаг 1 — Деление 58 и последовательных отношений с основанием 16.

операция	частное	остаток
58/16	3	10 = А
3/16	0	3

⇒ (58) ₁₀ = (3А) ₁₆

Следовательно, целая часть эквивалентного шестнадцатеричного числа равна 3А.

Шаг 2 — Умножение 0,25 и последовательных дробей с основанием 16.

операция	Результат	Нести
0,25 х 16	4,00	4
—	0,00	—

⇒ (.25) ₁₀ = (.4) ₁₆

Следовательно, дробная часть эквивалентного гекса-десятичного числа равна .4.

⇒ (58.25) ₁₀ = (3A.4) ₁₆

Следовательно, гекса-десятичный эквивалент десятичного числа 58,25 равен 3A.4.

Преобразование двоичного числа в другие базы

Процесс преобразования числа из двоичного в десятичное отличается от процесса преобразования двоичного числа в другие основания. Теперь давайте поговорим о преобразовании двоичного числа в десятичную, восьмеричную и гекса-десятичную системы счисления одну за другой.

Двоично-десятичное преобразование

Для преобразования двоичного числа в его эквивалентное десятичное число сначала умножьте биты двоичного числа на соответствующие позиционные веса, а затем добавьте все эти произведения.

пример

Рассмотрим двоичное число 1101.11 .

Математически мы можем записать это как

(1101.11) ₂ = (1 × 2 ³ ) + (1 × 2 ² ) + (0 × 2 ¹ ) + (1 × 2 ⁰ ) + (1 × 2 ^-1 ) +

(1 × 2 ^-2 )

⇒ (1101.11) ₂ = 8 + 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 13,75

⇒ (1101.11) ₂ = (13.75) ₁₀

Следовательно, десятичный эквивалент двоичного числа 1101.11 составляет 13,75.

Бинарное преобразование в восьмеричное

Мы знаем, что базисами двоичных и восьмеричных систем счисления являются 2 и 8 соответственно. Три бита двоичного числа эквивалентны одной восьмеричной цифре, поскольку 2 ³ = 8.

Выполните эти два шага для преобразования двоичного числа в его эквивалентное восьмеричное число.

• Начните с двоичной точки и сделайте группы по 3 бита с обеих сторон двоичной точки. Если один или два бита меньше при создании группы из 3-х бит, то включите необходимое количество нулей на крайних сторонах.

• Запишите восьмеричные цифры, соответствующие каждой группе из 3 бит.

Начните с двоичной точки и сделайте группы по 3 бита с обеих сторон двоичной точки. Если один или два бита меньше при создании группы из 3-х бит, то включите необходимое количество нулей на крайних сторонах.

Запишите восьмеричные цифры, соответствующие каждой группе из 3 бит.

пример

Рассмотрим двоичное число 101110.01101 .

Шаг 1 — Создайте группы по 3 бита с обеих сторон двоичной точки.

101 110.011 01

Здесь, с правой стороны двоичной точки, последняя группа имеет только 2 бита. Итак, включите один ноль на крайней стороне, чтобы сделать его группой из 3 битов.

⇒ 101 110.011 010

Шаг 2 — Запишите восьмеричные цифры, соответствующие каждой группе из 3 бит.

⇒ (101 110.011 010) ₂ = (56.32) ₈

Следовательно, восьмеричный эквивалент двоичного числа 101110.01101 равен 56,32.

Двоичное преобразование в гекса-десятичное

Мы знаем, что базисами двоичных и гекса-десятичных систем счисления являются 2 и 16 соответственно. Четыре бита двоичного числа эквивалентны одной шестнадцатеричной цифре, поскольку 2 ⁴ = 16.

Выполните эти два шага для преобразования двоичного числа в его эквивалентное шестнадцатеричное число.

• Начните с двоичной точки и сделайте группы по 4 бита с обеих сторон двоичной точки. Если при создании группы из 4 битов несколько битов меньше, включите необходимое число нулей на крайних сторонах.

• Запишите шестнадцатеричные цифры, соответствующие каждой группе из 4 битов.

Начните с двоичной точки и сделайте группы по 4 бита с обеих сторон двоичной точки. Если при создании группы из 4 битов несколько битов меньше, включите необходимое число нулей на крайних сторонах.

Запишите шестнадцатеричные цифры, соответствующие каждой группе из 4 битов.

пример

Рассмотрим двоичное число 101110.01101

Шаг 1 — Создайте группы по 4 бита с обеих сторон двоичной точки.

10 1110.0110 1

Здесь первая группа имеет только 2 бита. Итак, включите два нуля на крайней стороне, чтобы сделать его группой из 4 битов. Точно так же включите три нуля на крайней стороне, чтобы сделать последнюю группу также как группу из 4 битов.

⇒ 0010 1110.0110 1000

Шаг 2 — Запишите шестнадцатеричные цифры, соответствующие каждой группе из 4 битов.

⇒ (0010 1110.0110 1000) ₂ = (2E.68) ₁₆

Следовательно, шестнадцатеричный эквивалент двоичного числа 101110.01101 равен (2E.68).

Восьмеричное преобразование в другие базы

Процесс преобразования восьмеричного числа в десятичное отличается от процесса преобразования восьмеричного числа в другие основания. Теперь давайте поговорим о преобразовании восьмеричного числа в десятичную, двоичную и гекса-десятичную системы счисления одну за другой.

Восьмеричное и десятичное преобразование

Чтобы преобразовать восьмеричное число в его эквивалентное десятичное число, сначала умножьте цифры восьмеричного числа на соответствующие позиционные веса, а затем добавьте все эти продукты.

пример

Рассмотрим восьмеричное число 145.23 .

Математически мы можем записать это как

(145.23) ₈ = (1 × 8 ² ) + (4 × 8 ¹ ) + (5 × 8 ⁰ ) + (2 × 8 ^-1 ) + (3 × 8 ^-2 )

⇒ (145,23) ₈ = 64 + 32 + 5 + 0,25 + 0,05 = 101,3

⇒ (145,23) ₈ = (101,3) ₁₀

Следовательно, десятичный эквивалент восьмеричного числа 145,23 равен 101,3.

Восьмеричное в двоичное преобразование

Процесс преобразования восьмеричного числа в эквивалентное двоичное число прямо противоположен процессу преобразования двоичного числа в восьмеричное. Представляя каждую восьмеричную цифру с 3 битами, мы получим эквивалентное двоичное число.

пример

Рассмотрим восьмеричное число 145.23 .

Представьте каждую восьмеричную цифру с 3 битами.

(145,23) ₈ = (001 100 101,010 011) ₂

Значение не изменяется, удаляя нули, которые находятся на крайней стороне.

⇒ (145.23) ₈ = (1100101.010011) ₂

Следовательно, двоичный эквивалент восьмеричного числа 145,23 равен 1100101.010011.

Восьмеричное в гекса-десятичное преобразование

Выполните эти два шага для преобразования восьмеричного числа в его эквивалентное шестнадцатеричное число.

• Преобразуйте восьмеричное число в его эквивалентное двоичное число.
• Преобразуйте указанное выше двоичное число в его эквивалентное шестнадцатеричное число.

пример

Рассмотрим восьмеричное число 145,23

В предыдущем примере мы получили двоичный эквивалент восьмеричного числа 145,23 как 1100101.010011.

Следуя процедуре двоичного преобразования в гекса-десятичное, мы получим

(1100101.010011) ₂ = (65,4 ° С) 16

⇒ (145,23) ₈ = (65,4 ° С) ₁₆

Следовательно, шестнадцатеричный эквивалент восьмеричного числа 145,23 составляет 65,4 С.

Преобразование шестнадцатеричного числа в другие базы

Процесс преобразования числа из шестнадцатеричного числа в десятичное отличается от процесса преобразования шестнадцатеричного числа в другие основания. Теперь давайте поговорим о преобразовании шестнадцатеричного десятичного числа в десятичную, двоичную и восьмеричную системы счисления одну за другой.

Гекса-десятичное в десятичное преобразование

Для преобразования шестнадцатеричного числа в эквивалентное десятичное число сначала умножьте цифры шестнадцатеричного числа на соответствующие позиционные веса, а затем добавьте все эти продукты.

пример

Рассмотрим шестнадцатеричное число 1A5.2

Математически мы можем записать это как

(1A5.2) ₁₆ = (1 × 16 ² ) + (10 × 16 ¹ ) + (5 × 16 ⁰ ) + (2 × 16 ^-1 )

⇒ (1A5.2) ₁₆ = 256 + 160 + 5 + 0,125 = 421,125

⇒ (1A5.2) ₁₆ = (421.125) ₁₀

Следовательно, десятичный эквивалент шестнадцатеричного числа 1A5.2 составляет 421,125.

Гекса-десятичное в двоичное преобразование

Процесс преобразования шестнадцатеричного числа в его эквивалентное двоичное число прямо противоположен процессу преобразования двоичного числа в шестнадцатеричное. Представляя каждую шестнадцатеричную цифру четырьмя битами, мы получим эквивалентное двоичное число.

пример

Рассмотрим гекса-десятичное число 65.4C

Представьте каждую шестнадцатеричную цифру с 4 битами.

(65,4 ° С) ₆ = (0110 0101,0100 1100) ₂

Значение не изменяется, удаляя нули, которые находятся на двух крайних сторонах.

⇒ (65,4C) ₁₆ = (1100101.010011) ₂

Следовательно, двоичный эквивалент шестнадцатеричного числа 65.4C равен 1100101.010011.

Преобразование из шестнадцатеричной системы в десятичную

Выполните эти два шага для преобразования шестнадцатеричного числа в его эквивалентное восьмеричное число.

• Преобразуйте шестнадцатеричное число в его эквивалентное двоичное число.
• Преобразуйте указанное выше двоичное число в его эквивалентное восьмеричное число.

пример

Рассмотрим гекса-десятичное число 65.4C

В предыдущем примере мы получили двоичный эквивалент шестнадцатеричного числа 65.4C как 1100101.010011.

Следуя процедуре двоичного преобразования в восьмеричное, мы получим

(1100101.010011) ₂ = (145,23) ₈

⇒ (65,4C) ₁₆ = (145,23) _?

Следовательно, восьмеричный эквивалент шестнадцатеричного числа 65,4 C равен 145,23.