Логика, которая изначально была лишь исследованием того, что отличает здравый аргумент от необоснованного, теперь превратилась в мощную и строгую систему, в которой могут быть обнаружены истинные утверждения с учетом других утверждений, которые уже известны как истинные.
Предикатная логика
Эта логика имеет дело с предикатами, которые являются предложениями, содержащими переменные.
Предикат — это выражение одной или нескольких переменных, определенных в некоторой конкретной области. Предикат с переменными можно сделать предложением, либо присвоив значение переменной, либо определив ее количественно.
Ниже приведены несколько примеров предикатов.
- Пусть E (x, y) обозначает «x = y»
- Пусть X (a, b, c) обозначает «a + b + c = 0»
- Пусть M (x, y) обозначает «x женат на y»
Логика высказываний
Предложение — это совокупность декларативных утверждений, которые имеют либо значение истинности «истина», либо значение истинности «ложь». Пропозициональное предложение состоит из пропозициональных переменных и связок. Пропозициональные переменные помечаются заглавными буквами (A, B и т. Д.). Связки соединяют пропозициональные переменные.
Несколько примеров предложений приведены ниже —
- «Человек — смертный», он возвращает истинное значение «ИСТИНА»
- «12 + 9 = 3 — 2», возвращает значение истинности «ЛОЖЬ»
Следующее не является предложением —
-
«A меньше 2» — потому что, если мы не дадим конкретное значение A, мы не сможем сказать, является ли утверждение истинным или ложным.
«A меньше 2» — потому что, если мы не дадим конкретное значение A, мы не сможем сказать, является ли утверждение истинным или ложным.
Связки
В логике высказываний мы используем следующие пять связок:
- ИЛИ (∨∨)
- И (∧∧)
- Отрицание / НЕ (¬¬)
- Вывод / если-тогда
- Если и только если (⇔⇔)
ИЛИ (∨∨)
Операция ИЛИ двух предложений A и B (записанная как A asBA∨B) является истинной, если хотя бы любая из пропозициональных переменных A или B истинна.
Таблица истинности выглядит следующим образом —
| В | A ∨ B | |
|---|---|---|
| Правда | Правда | Правда |
| Правда | Ложь | Правда |
| Ложь | Правда | Правда |
| Ложь | Ложь | Ложь |
И (∧∧)
Операция AND двух предложений A и B (записанная как A∧BA∧B) верна, если обе пропозициональные переменные A и B верны.
Таблица истинности выглядит следующим образом —
| В | A ∧ B | |
|---|---|---|
| Правда | Правда | Правда |
| Правда | Ложь | Ложь |
| Ложь | Правда | Ложь |
| Ложь | Ложь | Ложь |
Отрицание (¬¬)
Отрицание предложения A (записанного как ¬A¬A) ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.
Таблица истинности выглядит следующим образом —
| ¬A | |
|---|---|
| Правда | Ложь |
| Ложь | Правда |
Вывод / если-тогда
Импликация A → BA → B — это предложение «если A, то B». Это ложно, если A верно, а B ложно. Остальные случаи верны.
Таблица истинности выглядит следующим образом —
| В | A → B | |
|---|---|---|
| Правда | Правда | Правда |
| Правда | Ложь | Ложь |
| Ложь | Правда | Правда |
| Ложь | Ложь | Правда |
Если и только если (⇔⇔)
A⇔BA⇔B — это бинарное логическое связующее, которое истинно, когда p и q одинаковы, т. Е. Оба являются ложными или оба истинны.
Таблица истинности выглядит следующим образом —
| В | A⇔B | |
|---|---|---|
| Правда | Правда | Правда |
| Правда | Ложь | Ложь |
| Ложь | Правда | Ложь |
| Ложь | Ложь | Правда |
Хорошо сформированная формула
Хорошо сформированная формула (WFF) — это предикат, содержащий одно из следующих:
- Все пропозициональные константы и пропозициональные переменные являются wffs.
- Если x — переменная, а Y — wff, то YxY и ∃xY также являются wff.
- Истинное значение и ложные значения являются wffs.
- Каждая атомная формула — это wff.
- Все соединения, соединяющие wffs, являются wffs.
Кванторы
Переменная предикатов определяется количественно квантификаторами. В логике предикатов есть два типа квантификаторов:
- Универсальный квантификатор
- Экзистенциальный квантификатор
Универсальный квантификатор
Универсальный квантификатор утверждает, что операторы в его области действия верны для каждого значения конкретной переменной. Обозначается символом ∀.
PxP (x) читается как для каждого значения x, P (x) верно.
Пример — «Человек смертен» можно преобразовать в пропозициональную форму ∀xP (x). Здесь P (x) — это предикат, который обозначает, что x смертелен, а вселенная дискурса — все люди.
Экзистенциальный квантификатор
Экзистенциальный квантификатор утверждает, что операторы в его области истинны для некоторых значений определенной переменной. Обозначается символом ∃.
PxP (x) для некоторых значений x читается как, P (x) истинно.
Пример — «Некоторые люди нечестны» можно преобразовать в пропозициональную форму Px P (x), где P (x) — предикат, который обозначает, что x нечестен, а во вселенной дискурса — некоторые люди.
Вложенные квантификаторы
Если мы используем квантификатор, который появляется в области действия другого квантификатора, он называется вложенным квантификатором.
пример
- ∀ a∃bP (x, y) где P (a, b) обозначает a + b = 0
- ∀ a∀b∀cP (a, b, c) где P (a, b) обозначает a + (b + c) = (a + b) + c
Примечание — ∀a∃bP (x, y) ≠ ∃a∀bP (x, y)