Учебники

Fuzzy Logic – Краткое руководство

Нечеткая логика – Введение

Слово нечеткий относится к вещам, которые не ясны или расплывчаты. Любое событие, процесс или функция, которые постоянно изменяются, не всегда могут быть определены как истина или ложь, что означает, что мы должны определять такие действия нечетким образом.

Что такое нечеткая логика?

Нечеткая логика напоминает методологию принятия решений человеком. Он имеет дело с неопределенной и неточной информацией. Это грубое упрощение проблем реального мира, основанное на степенях истины, а не на обычной истинной / ложной или 1/0 подобной булевой логике.

Посмотрите на следующую диаграмму. Это показывает, что в нечетких системах значения указываются числом в диапазоне от 0 до 1. Здесь 1,0 представляет абсолютную правду, а 0,0 представляет абсолютную ложность . Число, которое указывает значение в нечетких системах, называется истинным значением .

Введение в нечеткую логику

Другими словами, мы можем сказать, что нечеткая логика – это не нечеткая логика, а логика, которая используется для описания нечеткости. Подобных примеров может быть множество, с помощью которых мы можем понять концепцию нечеткой логики.

Нечеткая логика была введена Лофти Заде в 1965 году в его исследовательской работе «Нечеткие множества». Он считается отцом нечеткой логики.

Нечеткая логика – классическая теория множеств

Набор представляет собой неупорядоченную коллекцию различных элементов. Это может быть написано явно, перечисляя его элементы, используя установленную скобку. Если порядок элементов изменяется или какой-либо элемент набора повторяется, он не вносит никаких изменений в набор.

пример

  • Набор всех натуральных чисел.
  • Совокупность всех планет Солнечной системы.
  • Набор из всех штатов в Индии.
  • Набор всех строчных букв алфавита.

Математическое представление множества

Наборы могут быть представлены двумя способами –

Реестр или Табличная форма

В этой форме набор представлен перечислением всех элементов, составляющих его. Элементы заключены в фигурные скобки и разделены запятыми.

Ниже приведены примеры набора в Ростере или Табличной Форме –

  • Набор гласных в английском алфавите, A = {a, e, i, o, u}
  • Набор нечетных чисел меньше 10, B = {1,3,5,7,9}

Установить нотацию Builder

В этой форме набор определяется путем указания свойства, которое имеют общие элементы набора. Набор описывается как A = {x: p (x)}

Пример 1 – множество {a, e, i, o, u} записывается как

A = {x: x – гласный в английском алфавите}

Пример 2. Набор {1,3,5,7,9} записывается как

B = {x: 1 ≤ x <10 и (x% 2) ≠ 0}

Если элемент x является членом любого множества S, он обозначается x∈S, а если элемент y не является членом множества S, он обозначается y∉S.

Пример – если S = ​​{1,1.2,1.7,2}, 1 ∈ S, но 1,5 ∉ S

Мощность множества

Мощность множества S, обозначаемая | S || S |, – это количество элементов множества. Номер также называется кардинальным числом. Если множество имеет бесконечное число элементов, его мощность равна ∞∞.

Пример – | {1,4,3,5} | = 4, | {1,2,3,4,5,…} | = ∞

Если существует два множества X и Y, | X | = | Y | обозначает два множества X и Y, имеющих одинаковую мощность. Это происходит, когда количество элементов в X точно равно числу элементов в Y. В этом случае существует биективная функция ‘f’ от X до Y.

| X | ≤ | Y | обозначает, что мощность множества X меньше или равна мощности множества Y Это происходит, когда число элементов в X меньше или равно числу элементов в Y. Здесь существует инъективная функция ‘f’ от X до Y.

| X | <| Y | обозначает, что набор элементов X меньше, чем набор элементов Y Это происходит, когда число элементов в X меньше, чем в Y. Здесь функция ‘f’ из X в Y является инъективной функцией, но не биективной.

Если | X | ≤ | Y | и | X | ≤ | Y | тогда | X | = | Y | , Наборы X и Y обычно называют эквивалентными наборами .

Типы Наборов

Наборы могут быть классифицированы на многие типы; некоторые из которых являются конечными, бесконечными, подмножествами, универсальными, собственными, одноэлементными множествами и т.д.

Конечный набор

Множество, которое содержит определенное количество элементов, называется конечным множеством.

Пример – S = {x | x ∈ N и 70> x> 50}

Бесконечный набор

Множество, которое содержит бесконечное количество элементов, называется бесконечным множеством.

Пример – S = {x | x ∈ N и x> 10}

Подмножество

Множество X является подмножеством множества Y (записывается как X ⊆ Y), если каждый элемент X является элементом множества Y.

Пример 1. Пусть X = {1,2,3,4,5,6} и Y = {1,2}. Здесь множество Y является подмножеством множества X, так как все элементы множества Y находятся в множестве X. Следовательно, мы можем написать Y⊆X.

Пример 2. Пусть X = {1,2,3} и Y = {1,2,3}. Здесь множество Y – это подмножество (а не собственное подмножество) множества X, так как все элементы множества Y находятся в множестве X. Следовательно, мы можем записать Y⊆X.

Правильное подмножество

Термин «правильное подмножество» может быть определен как «подмножество, но не равно». Набор X является правильным подмножеством множества Y (записывается как X ⊂ Y), если каждый элемент X является элементом множества Y и | X | <| Y |.

Пример. Пусть X = {1,2,3,4,5,6} и Y = {1,2}. Здесь задайте Y ⊂ X, поскольку все элементы в Y содержатся и в X, и в X есть хотя бы один элемент, превышающий множество Y.

Универсальный комплект

Это коллекция всех элементов в определенном контексте или приложении. Все наборы в этом контексте или приложении по существу являются подмножествами этого универсального набора. Универсальные наборы представлены как U.

Пример. Мы можем определить U как совокупность всех животных на земле. В этом случае набор всех млекопитающих является подмножеством U, набор всех рыб является подмножеством U, набор всех насекомых является подмножеством U и так далее.

Пустой набор или нулевой набор

Пустой набор не содержит элементов. Обозначается через Φ. Поскольку число элементов в пустом множестве конечно, пустое множество является конечным множеством. Мощность пустого набора или нулевого набора равна нулю.

Пример – S = {x | x ∈ N и 7 <x <8} = Φ

Синглтон или блок

Набор Singleton или Unit содержит только один элемент. Одноэлементное множество обозначается {s}.

Пример – S = {x | x ∈ N, 7 <x <9} = {8}

Равный Набор

Если два набора содержат одинаковые элементы, они называются равными.

Пример – если A = {1,2,6} и B = {6,1,2}, они равны, поскольку каждый элемент множества A является элементом множества B, а каждый элемент множества B является элементом множества A ,

Эквивалентный набор

Если мощности двух множеств одинаковы, они называются эквивалентными множествами.

Пример – Если A = {1,2,6} и B = {16,17,22}, они эквивалентны, поскольку мощность A равна количеству элементов B. то есть | A | = | B | = 3

Набор перекрывающихся

Два набора, которые имеют хотя бы один общий элемент, называются перекрывающимися наборами. В случае перекрывающихся наборов –

n left(A cupB right)=n left(A right)+n left(B right)n left(A capB right)

n left(A cupB right)=n left(AB right)+n left(BA right)+n left(A capB right)

n left(A right)=n left(AB right)+n left(A capB right)

n left(B right)=n left(BA right)+n left(A capB right)

Пример – Пусть, A = {1,2,6} и B = {6,12,42}. Существует общий элемент «6», поэтому эти наборы являются перекрывающимися.

Несвязанный набор

Два набора A и B называются непересекающимися, если они не имеют хотя бы одного общего элемента. Следовательно, непересекающиеся множества обладают следующими свойствами:

n left(A capB right)= phi

n left(A cupB right)=n left(A right)+n left(B right)

Пример. Пусть, A = {1,2,6} и B = {7,9,14}, нет ни одного общего элемента, поэтому эти наборы являются перекрывающимися.

Операции над классическими наборами

Операции над множествами включают в себя объединение множеств, пересечение множеств, разность множеств, дополнение множества и декартово произведение.

союз

Объединение множеств A и B (обозначаемое A ∪ BA ∪ B) – это множество элементов, которые находятся в A, в B или в A и B. Следовательно, A ∪ B = {x | x ∈ A OR x ∈ B}.

Пример – Если A = {10,11,12,13} и B = {13,14,15}, то A ∪ B = {10,11,12,13,14,15} – Общий элемент встречается только один раз ,

Союз Операция

пересечение

Пересечение множеств A и B (обозначаемое A ∩ B) – это множество элементов, которые находятся как в A, так и в B. Следовательно, A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}.

Операция пересечения

Разница / Относительное дополнение

Разность множеств множеств A и B (обозначаемая A – B) – это множество элементов, которые находятся только в A, но не в B. Следовательно, A – B = {x | x ∈ A и x ∉ B}.

Пример – если A = {10,11,12,13} и B = {13,14,15}, то (A – B) = {10,11,12} и (B – A) = {14,15 }. Здесь мы можем видеть (A – B) ≠ (B – A)

Операция относительного дополнения

Дополнение набора

Дополнением к множеству A (обозначаемому A ′) является множество элементов, которых нет в множестве A. Следовательно, A ′ = {x | x ∉ A}.

Более конкретно, A ′ = (U-A), где U – универсальное множество, которое содержит все объекты.

Пример – Если A = {x | x принадлежит множеству целых чисел сложения}, то A ′ = {y | y не принадлежит множеству нечетных чисел}

Дополнение набора

Декартово произведение / кросс произведение

Декартово произведение n числа множеств A1, A2, … An, обозначенное A1 × A2 … × An, может быть определено как все возможные упорядоченные пары (x1, x2,… xn), где x1 ∈ A1, x2 ∈ A2,… xn ∈ An

Пример – если мы возьмем два набора A = {a, b} и B = {1,2},

Декартово произведение A и B записывается как – A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2)}

И декартово произведение B и A записывается в виде – B × A = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

Свойства классических множеств

Свойства на множествах играют важную роль для получения решения. Ниже приведены различные свойства классических множеств –

Коммутативная собственность

Имея два набора A и B , это свойство гласит:

A cupB=B cupA

A capB=B capA

Ассоциативная собственность

Имея три набора A , B и C , это свойство гласит:

A cup left(B cupC right)= left(A cupB right) cupC

A cap left(B capC right)= left(A capB right) capC

Распределительное свойство

Имея три набора A , B и C , это свойство гласит:

A cup left(B capC right)= left(A cupB right) cap left(A cupC right)

A cap left(B cupC right)= left(A capB right) cup left(A capC right)

Свойство идемпотентности

Для любого множества A это свойство гласит:

A cupA=A

A capA=A

Собственность идентичности

Для множества A и универсального множества X это свойство гласит:

A cup varphi=A

A capX=A

A cap varphi= varphi

A cupX=X

Переходное свойство

Имея три набора A , B и C , свойство заявляет –

Если A subseteqB subseteqC, то A subseteqC

Инволюция собственности

Для любого множества A это свойство гласит:

 overline overlineA=A

Закон де Моргана

Это очень важный закон, который помогает в доказательстве тавтологий и противоречий. Этот закон гласит:

 overlineA capB= overlineA cup overlineB

 overlineA cupB= overlineA cap overlineB

Нечеткая логика – теория множеств

Нечеткие множества можно рассматривать как расширение и грубое упрощение классических множеств. Это может быть лучше понято в контексте членства в наборе. По сути, он допускает частичное членство, что означает, что он содержит элементы с различной степенью членства в наборе. Из этого мы можем понять разницу между классическим множеством и нечетким множеством. Классический набор содержит элементы, которые удовлетворяют точным свойствам членства, в то время как нечеткий набор содержит элементы, которые удовлетворяют неточным свойствам членства.

Нечеткий и классический набор

Математическая концепция

Нечеткое множество  widetildeA во вселенной информации U может быть определено как набор упорядоченных пар, и его можно представить математически как –

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

Здесь  mu widetildeA left(y right) = степень принадлежности y в \ widetilde {A}, принимает значения в диапазоне от 0 до 1, т. Е.  Mu widetildeA(y) in left[0,1 right].

Представление нечеткого множества

Давайте теперь рассмотрим два случая вселенной информации и поймем, как можно представить нечеткое множество.

Случай 1

Когда информационная вселенная U дискретна и конечна –

\ widetilde {A} = \ left \ {\ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_1 \ right)} {y_1} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_2 \ right)} {y_2} + \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_3 \ right)} {y_3} + … \ right \}

= \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y_i \ right)} {y_i} \ right \}

Дело 2

Когда информационная вселенная U непрерывна и бесконечна –

\ widetilde {A} = \ left \ {\ int \ frac {\ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right)} {y} \ right \}

В вышеприведенном представлении символ суммирования представляет коллекцию каждого элемента.

Операции над нечеткими множествами

Имея два нечетких множества  widetildeA и  widetildeB, универсум информации U и элемент ð ‘universe юниверса, следующие отношения выражают операцию объединения, пересечения и дополнения на нечеткой наборы.

Союз / Нечеткий OR

Давайте рассмотрим следующее представление, чтобы понять, как работает отношение Union / Fuzzy ™ OR

 mu widetildeA cup widetildeB left(y right)= mu widetildeA vee mu widetildeB quad forally inU

Здесь ∨ представляет максимальную операцию.

союз

Пересечение / Нечеткий & АНДИЯ

Давайте рассмотрим следующее представление, чтобы понять, как работает отношение Пересечение / Нечетко-И

 mu widetildeA cap widetildeB left(y right)= mu widetildeA wedge mu widetildeB quad forally inU

Здесь ∧ представляет собой операцию «min».

пересечение

Дополнение / Нечеткий

Давайте рассмотрим следующее представление, чтобы понять, как работает отношение Complement / Fuzzy ™ NOTA

 mu widetildeA=1 mu widetildeA left(y right) quady inU

комплемент

Свойства нечетких множеств

Давайте обсудим различные свойства нечетких множеств.

Коммутативная собственность

Имея два нечетких множества  widetildeA и  widetildeB, это свойство гласит:

 widetildeA cup widetildeB= widetildeB cup widetildeA

 widetildeA cap widetildeB= widetildeB cap widetildeA

Ассоциативная собственность

Имея три нечетких множества  widetildeA,  widetildeB и  widetildeC, это свойство гласит:

 widetildeA cup left( widetildeB cup widetildeC right)= left( widetildeA cup widetildeB right) cup widetildeC,

 widetildeA cap left( widetildeB cap widetildeC right)= left( widetildeA cup widetildeB right) cup widetildeC,

Распределительное свойство

Имея три нечетких множества  widetildeA,  widetildeB и  widetildeC, это свойство гласит:

 widetildeA cup left( widetildeB cap widetildeC right)= left( widetildeA cup widetildeB right) cap left( widetildeA cup widetildeC right)

 widetildeA cap left( widetildeB cup widetildeC right)= left( widetildeA cap widetildeB right) cup left( widetildeA cap widetildeC right)

Свойство идемпотентности

Для любого нечеткого множества  widetildeA это свойство гласит:

 widetildeA cup widetildeA= widetildeA

 widetildeA cap widetildeA= widetildeA

Собственность идентичности

Для нечеткого множества  widetildeA и универсального множества U это свойство гласит:

 widetildeA cup varphi= widetildeA

 widetildeA capU= widetildeA

 widetildeA cap varphi= varphi

 widetildeA cupU=U

Переходное свойство

Имея три нечетких множества  widetildeA,  widetildeB и  widetildeC, это свойство гласит:

If widetildeA subseteq widetildeB subseteq widetildeC,then widetildeA subseteq widetildeC

Инволюция собственности

Для любого нечеткого множества  widetildeA это свойство гласит:

 overline overline widetildeA= widetildeA

Закон де Моргана

Этот закон играет решающую роль в доказательстве тавтологии и противоречия. Этот закон гласит:

 overline widetildeA cap widetildeB= overline widetildeA cup overline widetildeB

 overline widetildeA cup widetildeB= overline widetildeA cap overline widetildeB

Нечеткая логика – функция членства

Мы уже знаем, что нечеткая логика – это не нечеткая логика, а логика, которая используется для описания нечеткости. Эта нечеткость лучше всего характеризуется его функцией членства. Другими словами, мы можем сказать, что функция принадлежности представляет степень правды в нечеткой логике.

Функция членства

Ниже приведены несколько важных моментов, касающихся функции членства.

  • Функции членства были впервые введены в 1965 году Лофти А. Заде в его первой исследовательской работе «Нечеткие множества».

  • Функции принадлежности характеризуют нечеткость (т. Е. Всю информацию в нечетком множестве), независимо от того, являются ли элементы в нечетких множествах дискретными или непрерывными.

  • Функции членства можно определить как метод решения практических задач на основе опыта, а не знаний.

  • Функции принадлежности представлены графическими формами.

  • Правила определения нечеткости тоже нечетки.

Функции членства были впервые введены в 1965 году Лофти А. Заде в его первой исследовательской работе «Нечеткие множества».

Функции принадлежности характеризуют нечеткость (т. Е. Всю информацию в нечетком множестве), независимо от того, являются ли элементы в нечетких множествах дискретными или непрерывными.

Функции членства можно определить как метод решения практических задач на основе опыта, а не знаний.

Функции принадлежности представлены графическими формами.

Правила определения нечеткости тоже нечетки.

Математическая запись

Мы уже изучали, что нечеткое множество М во вселенной информации U может быть определено как множество упорядоченных пар, и оно может быть математически представлено как –

$$ \ widetilde {A} = \ left \ {\ left (y, \ mu _ {\ widetilde {A}} \ left (y \ right) \ right) | y \ in U \ right \} $$

Здесь  mu widetildeA left( bullet right) = функция принадлежности  widetildeA; это предполагает значения в диапазоне от 0 до 1, т. е.  mu widetildeA left( bullet right) in left[0,1 right]. Функция принадлежности  mu widetildeA left( bullet right) отображает U в пространство принадлежности M.

Точка  left( bullet right) в функции принадлежности, описанной выше, представляет элемент в нечетком множестве; будь то дискретный или непрерывный.

Особенности членских функций

Теперь мы обсудим различные функции функций членства.

ядро

Для любого нечеткого множества  widetildeA ядром функции принадлежности является та область юниверса, которая характеризуется полным членством в наборе. Следовательно, ядро ​​состоит из всех тех элементов y вселенной информации, что

 mu widetildeA left(y right)=1

Служба поддержки

Для любого нечеткого множества  widetildeA поддержка функции принадлежности – это область юниверса, которая характеризуется ненулевым членством в наборе. Следовательно, ядро ​​состоит из всех тех элементов y вселенной информации, что

 mu widetildeA left(y right)>0

граничный

Для любого нечеткого множества  widetildeA границей функции принадлежности является область вселенной, которая характеризуется ненулевым, но неполным членством в множестве. Следовательно, ядро ​​состоит из всех тех элементов y вселенной информации, что

1> mu widetildeA left(y right)>0

Функции членства

фаззификации

Это может быть определено как процесс преобразования четкого набора в нечеткий набор или нечеткого набора в нечеткий набор. По сути, эта операция переводит точные четкие входные значения в лингвистические переменные.

Ниже приведены два важных метода фаззификации.

Метод Fuzzification (s-fuzzification) поддержки

В этом методе нечеткий набор можно выразить с помощью следующего соотношения:

 widetildeA= mu1Q left(x1 right)+ mu2Q left(x2 right)+...+ munQ left(xn right)

Здесь нечеткое множество Q left(xi right) называется ядром фаззификации. Этот метод реализован путем сохранения постоянной  mui и преобразования xi в нечеткое множество Q left(xi right).

Метод степенного фаззификации (g-fuzzification)

Он очень похож на описанный выше метод, но основное отличие состоит в том, что он поддерживает постоянную xi, а  mui выражается в виде нечеткого множества.

дефаззификация

Это может быть определено как процесс преобразования нечеткого набора в четкий набор или превращения нечеткого элемента в свежий элемент.

Мы уже изучали, что процесс фаззификации включает преобразование четких величин в нечеткие. В ряде инженерных приложений необходимо дефаззифицировать результат или, скорее, «нечеткий результат», чтобы его можно было преобразовать в четкий результат. Математически процесс дефаззификации также называют «округлением».

Различные методы дефаззификации описаны ниже –

Макс-метод членства

Этот метод ограничен пиковыми выходными функциями и также известен как метод высоты. Математически это можно представить следующим образом:

 mu widetildeA left(x right)> mu widetildeA left(x right)длявсеx inX

Здесь x – дефаззифицированный вывод.

Центроидный метод

Этот метод также известен как центр области или метод центра тяжести. Математически, дефаззифицированный вывод x будет представлен как –

x= frac int mu widetildeA left(x right).xdx int mu widetildeA left(x right)).dx

Средневзвешенный метод

В этом методе каждая функция членства взвешивается по максимальному значению членства. Математически, дефаззифицированный вывод x будет представлен как –

x= frac sum mu widetildeA left( overlinexi right). overlinexi sum mu widetildeA left( overlinexi right)

Среднее-Макс Членство

Этот метод также известен как середина максимумов. Математически, дефаззифицированный вывод x будет представлен как –

x= frac displaystyle sumni=1 overlinexin

Fuzzy Logic – традиционный нечеткий переподготовка

Логика, которая изначально была лишь исследованием того, что отличает здравый аргумент от необоснованного, теперь превратилась в мощную и строгую систему, в которой могут быть обнаружены истинные утверждения с учетом других утверждений, которые уже известны как истинные.

Предикатная логика

Эта логика имеет дело с предикатами, которые являются предложениями, содержащими переменные.

Предикат – это выражение одной или нескольких переменных, определенных в некоторой конкретной области. Предикат с переменными можно сделать предложением, либо присвоив значение переменной, либо определив ее количественно.

Ниже приведены несколько примеров предикатов.

  • Пусть E (x, y) обозначает «x = y»
  • Пусть X (a, b, c) обозначает «a + b + c = 0»
  • Пусть M (x, y) обозначает «x женат на y»

Логика высказываний

Предложение – это совокупность декларативных утверждений, которые имеют либо значение истинности «истина», либо значение истинности «ложь». Пропозициональное предложение состоит из пропозициональных переменных и связок. Пропозициональные переменные помечаются заглавными буквами (A, B и т. Д.). Связки соединяют пропозициональные переменные.

Несколько примеров предложений приведены ниже –

  • «Человек – смертный», он возвращает истинное значение «ИСТИНА»
  • «12 + 9 = 3 – 2», возвращает значение истинности «ЛОЖЬ»

Следующее не является предложением –

  • «A меньше 2» – потому что, если мы не дадим конкретное значение A, мы не сможем сказать, является ли утверждение истинным или ложным.

«A меньше 2» – потому что, если мы не дадим конкретное значение A, мы не сможем сказать, является ли утверждение истинным или ложным.

Связки

В логике высказываний мы используем следующие пять связок:

  • ИЛИ (∨∨)
  • И (∧∧)
  • Отрицание / НЕ (¬¬)
  • Вывод / если-тогда
  • Если и только если (⇔⇔)

ИЛИ (∨∨)

Операция ИЛИ двух предложений A и B (записанная как A asBA∨B) является истинной, если хотя бы любая из пропозициональных переменных A или B истинна.

Таблица истинности выглядит следующим образом –

В A ∨ B
Правда Правда Правда
Правда Ложь Правда
Ложь Правда Правда
Ложь Ложь Ложь

И (∧∧)

Операция AND двух предложений A и B (записанная как A∧BA∧B) верна, если обе пропозициональные переменные A и B верны.

Таблица истинности выглядит следующим образом –

В A ∧ B
Правда Правда Правда
Правда Ложь Ложь
Ложь Правда Ложь
Ложь Ложь Ложь

Отрицание (¬¬)

Отрицание предложения A (записанного как ¬A¬A) ложно, когда A истинно, и истинно, когда A ложно.

Таблица истинности выглядит следующим образом –

¬A
Правда Ложь
Ложь Правда

Вывод / если-тогда

Импликация A → BA → B – это предложение «если A, то B». Это ложно, если A верно, а B ложно. Остальные случаи верны.

Таблица истинности выглядит следующим образом –

В A → B
Правда Правда Правда
Правда Ложь Ложь
Ложь Правда Правда
Ложь Ложь Правда

Если и только если (⇔⇔)

A⇔BA⇔B – это бинарное логическое связующее, которое истинно, когда p и q одинаковы, т. Е. Оба являются ложными или оба истинны.

Таблица истинности выглядит следующим образом –

В A⇔B
Правда Правда Правда
Правда Ложь Ложь
Ложь Правда Ложь
Ложь Ложь Правда

Хорошо сформированная формула

Хорошо сформированная формула (WFF) – это предикат, содержащий одно из следующих:

  • Все пропозициональные константы и пропозициональные переменные являются wffs.
  • Если x – переменная, а Y – wff, то YxY и ∃xY также являются wff.
  • Истинное значение и ложные значения являются wffs.
  • Каждая атомная формула – это wff.
  • Все соединения, соединяющие wffs, являются wffs.

Кванторы

Переменная предикатов определяется количественно квантификаторами. В логике предикатов есть два типа квантификаторов:

  • Универсальный квантификатор
  • Экзистенциальный квантификатор

Универсальный квантификатор

Универсальный квантификатор утверждает, что операторы в его области действия верны для каждого значения конкретной переменной. Обозначается символом ∀.

PxP (x) читается как для каждого значения x, P (x) верно.

Пример – «Человек смертен» можно преобразовать в пропозициональную форму ∀xP (x). Здесь P (x) – это предикат, который обозначает, что x смертелен, а вселенная дискурса – все люди.

Экзистенциальный квантификатор

Экзистенциальный квантификатор утверждает, что операторы в его области истинны для некоторых значений определенной переменной. Обозначается символом ∃.

PxP (x) для некоторых значений x читается как, P (x) истинно.

Пример – «Некоторые люди нечестны» можно преобразовать в пропозициональную форму Px P (x), где P (x) – предикат, который обозначает, что x нечестен, а во вселенной дискурса – некоторые люди.

Вложенные квантификаторы

Если мы используем квантификатор, который появляется в области действия другого квантификатора, он называется вложенным квантификатором.

пример

  • ∀ a∃bP (x, y) где P (a, b) обозначает a + b = 0
  • ∀ a∀b∀cP (a, b, c) где P (a, b) обозначает a + (b + c) = (a + b) + c

Примечание – ∀a∃bP (x, y) ≠ ∃a∀bP (x, y)

Нечеткая логика – приблизительная логика

Ниже приведены различные способы приблизительного рассуждения –

Категориальное Рассуждение

В этом режиме приближенного рассуждения антецеденты, не содержащие нечетких кванторов и нечетких вероятностей, предполагаются в канонической форме.

Качественное обоснование

В этом способе приближенного рассуждения антецеденты и следствия имеют нечеткие лингвистические переменные; отношение ввода-вывода системы выражается как набор нечетких правил IF-THEN. Эти рассуждения в основном используются при анализе системы управления.

Силлогистические рассуждения

В этом способе рассуждения приближения предшественники с нечеткими квантификаторами связаны с правилами вывода. Это выражается как –

x = S 1 A – это B

y = S 2 C являются D

————————

z = S 3 E являются F

Здесь A, B, C, D, E, F – нечеткие предикаты.

  • S 1 и S 2 даны нечеткими квантификаторами.

  • S 3 – нечеткий квантификатор, который должен быть определен.

S 1 и S 2 даны нечеткими квантификаторами.

S 3 – нечеткий квантификатор, который должен быть определен.

Диспозиционные рассуждения

В этом способе рассуждения приближения предшествующими являются диспозиции, которые могут содержать нечеткий квантификатор «обычно». Квантификатор Обычно связывает воедино диспозиционные и силлогические рассуждения; следовательно, он играет важную роль.

Например, проекционное правило вывода в диспозиционном рассуждении может быть дано следующим образом:

обычно ((L, M) – R) ⇒ обычно (L – [R ↓ L])

Здесь [R ↓ L] – проекция нечеткого отношения R на L

База правил нечеткой логики

Известно, что человеку всегда удобно разговаривать на естественном языке. Представление человеческих знаний может быть сделано с помощью следующего выражения естественного языка –

Если потом

Выражение, как указано выше, называется базой правил Fuzzy IF-THEN.

Каноническая форма

Ниже приводится каноническая форма базы правил Fuzzy Logic –

Правило 1 – Если условие С1, то ограничение R1

Правило 2 – Если условие C1, то ограничение R2

,

,

,

Правило n – Если условие C1, то ограничение Rn

Интерпретации нечетких правил IF-THEN

Нечеткие правила IF-THEN можно интерпретировать в следующих четырех формах:

Заявления о назначении

Эти типы утверждений используют «=» (равно знаку) для цели присваивания. Они имеют следующую форму –

а = привет

климат = лето

Условные заявления

Эти типы утверждений используют форму базы правил «ЕСЛИ-ТО» для целей условия. Они имеют следующую форму –

ЕСЛИ температура высокая, ТОГДА климат горячий

ЕСЛИ еда свежая, ТО ЕСТЬ.

Безусловные заявления

Они имеют следующую форму –

GOTO 10

выключить вентилятор

Лингвистическая переменная

Мы изучили, что нечеткая логика использует лингвистические переменные, которые являются словами или предложениями на естественном языке. Например, если мы говорим, температура, это лингвистическая переменная; значения которых очень горячие или холодные, слегка горячие или холодные, очень теплые, слегка теплые и т. д. Слова очень, слегка являются лингвистическими изгородями.

Характеристика лингвистической переменной

Следующие четыре термина характеризуют лингвистическую переменную –

  • Имя переменной, обычно представляемое x.
  • Набор терминов переменной, обычно представляемый t (x).
  • Синтаксические правила для генерации значений переменной x.
  • Семантические правила для связи каждого значения х и его значения.

Предложения в нечеткой логике

Поскольку мы знаем, что предложения – это предложения, выраженные на любом языке, которые обычно выражаются в следующей канонической форме:

s как P

Здесь s – Субъект, а P – Предикат.

Например, « Дели является столицей Индии », это предложение, где « Дели » является субъектом, а « столица Индии » является предикатом, который показывает свойство субъекта.

Мы знаем, что логика является основой рассуждений, и нечеткая логика расширяет возможности рассуждений, используя нечеткие предикаты, модификаторы нечетких предикатов, нечеткие квантификаторы и нечеткие классификаторы в нечетких высказываниях, что создает отличие от классической логики.

Предложения в нечеткой логике включают следующее:

Нечеткий Предикат

Почти каждый предикат в естественном языке является нечетким по своей природе, следовательно, нечеткая логика имеет предикаты, такие как высокий, короткий, теплый, горячий, быстрый и т. Д.

Модификаторы нечетких предикатов

Мы обсуждали лингвистические преграды выше; у нас также есть много модификаторов нечетких предикатов, которые действуют как преграды. Они очень важны для получения значений лингвистической переменной. Например, слова «очень, слегка» являются модификаторами, а предложения могут быть как « вода немного горячая ».

Нечеткие квантификаторы

Его можно определить как нечеткое число, которое дает неопределенную классификацию мощности одного или нескольких нечетких или нечетких множеств. Это может использоваться, чтобы влиять на вероятность в нечеткой логике. Например, многие, чаще всего, слова используются в качестве нечетких квантификаторов, а предложения могут выглядеть как «у большинства людей аллергия на это ».

Нечеткие Квалификаторы

Давайте теперь разберемся в Fuzzy Qualifiers. Fuzzy Qualifier также является предложением Fuzzy Logic. Нечеткая квалификация имеет следующие формы –

Нечеткая квалификация, основанная на истине

Он претендует на степень истинности нечеткого предложения.

Выражение – выражается как х т . Здесь t – нечеткое значение истины.

Пример – (машина черного цвета) НЕ ОЧЕНЬ верна.

Нечеткая квалификация, основанная на вероятности

Он претендует на вероятность, числовую или интервальную, нечеткого предложения.

Выражение – выражается как x как λ . Здесь λ – нечеткая вероятность.

Пример – (машина черного цвета) скорее всего.

Нечеткая квалификация, основанная на возможности

Это требует возможности нечеткого предложения.

Выражение – выражается в виде x как π . Здесь π нечеткая возможность.

Пример – (Автомобиль черный) Почти невозможно.

Нечеткая логика – система логического вывода

Система нечеткого вывода – это ключевой элемент системы нечеткой логики, основной задачей которой является принятие решений. Он использует правила «ЕСЛИ… ТОГДА» вместе с соединителями «ИЛИ» или «И» для рисования основных правил принятия решений.

Характеристики системы нечеткого вывода

Ниже приведены некоторые характеристики FIS –

  • Выходной сигнал FIS всегда является нечетким множеством независимо от его входного значения, которое может быть нечетким или четким.

  • Необходимо иметь нечеткий выход, когда он используется в качестве контроллера.

  • В FIS будет модуль дефаззификации для преобразования нечетких переменных в четкие.

Выходной сигнал FIS всегда является нечетким множеством независимо от его входного значения, которое может быть нечетким или четким.

Необходимо иметь нечеткий выход, когда он используется в качестве контроллера.

В FIS будет модуль дефаззификации для преобразования нечетких переменных в четкие.

Функциональные блоки ФИС

Следующие пять функциональных блоков помогут вам понять структуру FIS –

  • База правил – содержит нечеткие правила IF-THEN.

  • База данных – определяет функции принадлежности нечетких множеств, используемых в нечетких правилах.

  • Блок принятия решений – выполняет операции по правилам.

  • Блок интерфейса фаззификации – преобразует четкие величины в нечеткие.

  • Интерфейсный модуль дефаззификации – преобразует нечеткие величины в четкие. Ниже приведена блок-схема системы нечетких помех.

База правил – содержит нечеткие правила IF-THEN.

База данных – определяет функции принадлежности нечетких множеств, используемых в нечетких правилах.

Блок принятия решений – выполняет операции по правилам.

Блок интерфейса фаззификации – преобразует четкие величины в нечеткие.

Интерфейсный модуль дефаззификации – преобразует нечеткие величины в четкие. Ниже приведена блок-схема системы нечетких помех.

Функциональные блоки FIS

Работа ФИС

Работа FIS состоит из следующих этапов:

  • Блок фаззификации поддерживает применение многочисленных методов фаззификации и преобразует четкие входные данные в нечеткие входные данные.

  • База знаний – коллекция базы правил и базы данных формируется после преобразования четкого ввода в нечеткий ввод.

  • Нечеткий вход блока дефаззификации, наконец, преобразуется в четкий вывод.

Блок фаззификации поддерживает применение многочисленных методов фаззификации и преобразует четкие входные данные в нечеткие входные данные.

База знаний – коллекция базы правил и базы данных формируется после преобразования четкого ввода в нечеткий ввод.

Нечеткий вход блока дефаззификации, наконец, преобразуется в четкий вывод.

Методы FIS

Давайте теперь обсудим различные методы FIS. Ниже приведены два важных метода FIS, которые имеют разное следствие нечетких правил:

  • Система нечеткого вывода Мамдани
  • Нечеткая модель Такаги-Сугено (метод TS)

Система нечеткого вывода Мамдани

Эта система была предложена в 1975 году Эбхасимом Мамдани. По сути, предполагалось управлять комбинацией парового двигателя и котла путем синтеза набора нечетких правил, полученных от людей, работающих в системе.

Шаги для вычисления выхода

Следующие шаги должны быть выполнены для расчета выходных данных от этой FIS –

  • Шаг 1 – На этом шаге необходимо определить набор нечетких правил.

  • Шаг 2 – На этом шаге, используя входную функцию членства, ввод будет нечетким.

  • Шаг 3 – Теперь установите силу правила путем объединения нечетких входных данных в соответствии с нечеткими правилами.

  • Шаг 4 – На этом шаге определите последовательность правила, объединив силу правила и выходную функцию принадлежности.

  • Шаг 5 – Для получения выходного распределения объедините все последующие.

  • Шаг 6 – Наконец, получается дефаззифицированное выходное распределение.

Шаг 1 – На этом шаге необходимо определить набор нечетких правил.

Шаг 2 – На этом шаге, используя входную функцию членства, ввод будет нечетким.

Шаг 3 – Теперь установите силу правила путем объединения нечетких входных данных в соответствии с нечеткими правилами.

Шаг 4 – На этом шаге определите последовательность правила, объединив силу правила и выходную функцию принадлежности.

Шаг 5 – Для получения выходного распределения объедините все последующие.

Шаг 6 – Наконец, получается дефаззифицированное выходное распределение.

Ниже приведена блок-схема нечеткой интерфейсной системы Мамдани.

Нечеткая интерфейсная система Мамдани

Нечеткая модель Такаги-Сугено (метод TS)

Эта модель была предложена Такаги, Сугено и Кангом в 1985 году. Формат этого правила представлен как –

ЕСЛИ х – это А, а у – В, то Z = f (x, y)

Здесь AB – нечеткие множества в прошлых периодах, а z = f (x, y) – четкая функция в последующем.

Процесс нечеткого вывода

Процесс нечеткого вывода по нечеткой модели Такаги-Сугено (метод TS) работает следующим образом:

  • Шаг 1: фаззификация входов – здесь входы системы сделаны нечеткими.

  • Шаг 2: Применение нечеткого оператора – на этом шаге должны быть применены нечеткие операторы для получения выходных данных.

Шаг 1: фаззификация входов – здесь входы системы сделаны нечеткими.

Шаг 2: Применение нечеткого оператора – на этом шаге должны быть применены нечеткие операторы для получения выходных данных.

Формат правила формы Sugeno

Формат правила формы Sugeno определяется как –

если 7 = x и 9 = y, то результат равен z = ax + by + c

Сравнение двух методов

Давайте теперь поймем сравнение между системой Мамдани и моделью Сугено.

  • Функция выходного членства . Основное различие между ними заключается в функции выходного членства. Выходные функции принадлежности Sugeno являются либо линейными, либо постоянными.

  • Процедура агрегации и дефаззификации . Разница между ними также заключается в нечетких правилах и в связи с тем же процессом их агрегации и дефаззификации.

  • Математические правила. Для правила Сугено существует больше математических правил, чем для правила Мамдани.

  • Регулируемые параметры – Контроллер Sugeno имеет больше настраиваемых параметров, чем контроллер Mamdani.

Функция выходного членства . Основное различие между ними заключается в функции выходного членства. Выходные функции принадлежности Sugeno являются либо линейными, либо постоянными.

Процедура агрегации и дефаззификации . Разница между ними также заключается в нечетких правилах и в связи с тем же процессом их агрегации и дефаззификации.

Математические правила. Для правила Сугено существует больше математических правил, чем для правила Мамдани.

Регулируемые параметры – Контроллер Sugeno имеет больше настраиваемых параметров, чем контроллер Mamdani.

Нечеткая логика – база данных и запросы

В наших предыдущих главах мы изучали, что нечеткая логика – это подход к вычислениям, основанный на «степенях истины», а не на обычной «истинной или ложной» логике. Он имеет дело с рассуждениями, которые являются приблизительными, а не точными для решения проблем способом, который больше напоминает человеческую логику, поэтому процесс запросов к базе данных посредством двухзначной реализации булевой алгебры не является адекватным.

Нечеткий сценарий отношений по базам данных

Нечеткий сценарий отношений с базами данных можно понять с помощью следующего примера:

пример

Предположим, у нас есть база данных с записями о лицах, посетивших Индию. В простой базе данных у нас будут записи, сделанные следующим образом:

название Возраст Гражданин Посещенная страна Проведенные дни Год посещения
Джон Смит 35 НАС Индия 41 1999
Джон Смит 35 НАС Италия 72 1999
Джон Смит 35 НАС Япония 31 1999

Теперь, если кто-то спросит о человеке, который посетил Индию и Японию в 99 году и является гражданином США, то на выходе будут показаны две записи с именем Джона Смита. Это простой запрос, генерирующий простой вывод.

Но что, если мы хотим знать, молод человек в приведенном выше запросе или нет. Согласно вышеуказанному результату возраст человека составляет 35 лет. Но можем ли мы считать человека молодым или нет? Аналогичным образом, то же самое можно применить к другим полям, таким как дни, проведенные в году посещения и т. Д.

Решение вышеуказанных проблем можно найти с помощью наборов нечетких значений следующим образом:

  • Ф.В. (возраст) {очень молодой, молодой, несколько старый, старый}

  • FV (Проведенные дни) {всего несколько дней, несколько дней, довольно много дней, много дней}

  • FV (год посещения) {далекое прошлое, недавнее прошлое, недавнее}

  • Теперь, если любой запрос будет иметь нечеткое значение, результат также будет нечетким по своей природе.

Ф.В. (возраст) {очень молодой, молодой, несколько старый, старый}

FV (Проведенные дни) {всего несколько дней, несколько дней, довольно много дней, много дней}

FV (год посещения) {далекое прошлое, недавнее прошлое, недавнее}

Теперь, если любой запрос будет иметь нечеткое значение, результат также будет нечетким по своей природе.

Система нечетких запросов

Система нечетких запросов – это интерфейс для пользователей, чтобы получать информацию из базы данных, используя (квази) предложения на естественном языке. Было предложено много реализаций нечетких запросов, что привело к немного отличающимся языкам. Хотя существуют некоторые вариации в соответствии с особенностями различных реализаций, ответ на нечеткое предложение запроса, как правило, представляет собой список записей, ранжированных по степени соответствия.

Нечеткая логика – количественная оценка

При моделировании утверждений на естественном языке важную роль играют количественные выражения. Это означает, что NL сильно зависит от количественной конструкции, которая часто включает в себя нечеткие понятия, такие как «почти все», «многие» и т. Д. Ниже приведено несколько примеров количественных предложений:

  • Каждый студент сдал экзамен.
  • Каждая спортивная машина дорогая.
  • Многие студенты сдали экзамен.
  • Многие спортивные машины стоят дорого.

В вышеприведенных примерах квантификаторы «Каждый» и «Многие» применяются к четким ограничениям «студенты», а также к четкой области «(человек, который) сдал экзамен» и «автомобили», а также к четкой области «спорт».

Нечеткие события, нечеткие средства и нечеткие отклонения

С помощью примера мы можем понять вышеупомянутые понятия. Предположим, что мы являемся акционером компании под названием ABC. И в настоящее время компания продает каждую свою долю за 40 фунтов стерлингов. Есть три разных компании, чей бизнес похож на ABC, но они предлагают свои акции по разным ставкам – 100 фунтов за акцию, 85 фунтов за акцию и 60 фунтов за акцию соответственно.

Теперь распределение вероятностей этого ценового поглощения выглядит следующим образом:

Цена ₹ 100 ₹ 85 ₹ 60
Вероятность 0,3 0,5 0.2

Теперь из стандартной теории вероятностей приведенное выше распределение дает среднее значение ожидаемой цены, как показано ниже:

100 × 0,3 + 85 × 0,5 + 60 × 0,2 = 84,5 $

И из стандартной теории вероятностей приведенное выше распределение дает отклонение ожидаемой цены, как показано ниже:

(10084,5)2×0,3+(8584,5)2×0,5+(6084,5)2×0,2=124,825

Предположим, что степень членства 100 в этом наборе равна 0,7, 85 – 1, а степень членства – 0,5 для значения 60. Это может быть отражено в следующем нечетком наборе:

\ left \ {\ frac {0.7} {100}, \: \ frac {1} {85}, \: \ frac {0.5} {60}, \ right \}

Нечеткое множество, полученное таким образом, называется нечетким событием.

Нам нужна вероятность нечеткого события, для которого наш расчет дает:

0,7 × 0,3 + 1 × 0,5 + 0,5 × 0,2 = 0,21 + 0,5 + 0,1 = 0,81 $

Теперь нам нужно вычислить нечеткое среднее и нечеткую дисперсию, вычисление выглядит следующим образом:

Fuzzy_mean = left( frac10.81 right)×(100×0,7×0,3+85×1×0,5+60×0,5×0,2)

=85,8

Fuzzy_Variance =7496,917361,91=135,27

Нечеткая логика – принятие решений

Это действие, которое включает шаги, которые необходимо предпринять для выбора подходящей альтернативы из тех, которые необходимы для достижения определенной цели.

Шаги для принятия решения

Давайте теперь обсудим шаги, вовлеченные в процесс принятия решений –

  • Определение набора альтернатив – на этом этапе должны быть определены альтернативы, из которых должно быть принято решение.

  • Оценка альтернативы – Здесь альтернативы должны быть оценены, чтобы можно было принять решение об одной из альтернатив.

  • Сравнение альтернатив. На этом этапе проводится сравнение оцененных альтернатив.

Определение набора альтернатив – на этом этапе должны быть определены альтернативы, из которых должно быть принято решение.

Оценка альтернативы – Здесь альтернативы должны быть оценены, чтобы можно было принять решение об одной из альтернатив.

Сравнение альтернатив. На этом этапе проводится сравнение оцененных альтернатив.

Типы решений

Создание Теперь мы будем понимать различные типы принятия решений.

Индивидуальное принятие решений

При таком типе принятия решений только один человек отвечает за принятие решений. Модель принятия решений в этом виде может быть охарактеризована как –

  • Множество возможных действий

  • Набор целей Gi left(i inXn right);

  • Набор ограничений Cj left(j inXm right)

Множество возможных действий

Набор целей Gi left(i inXn right);

Набор ограничений Cj left(j inXm right)

Цели и ограничения, указанные выше, выражены в терминах нечетких множеств.

Теперь рассмотрим набор A. Затем цель и ограничения для этого набора определяются как –

Gi left(a right) = композиция  left[Gi left(a right) right] = G1i left(Gi left(a right) right) с G1i

Cj left(a right) = композиция  left[Cj left(a right) right] = C1j left(Cj left(a right) right) с C1j для a inA

Нечеткое решение в приведенном выше случае определяется как –

FD=min[i inXinnfGi left(a right),j inXinmfCj left(a right)]

Принятие решений несколькими людьми

Принятие решений в этом случае включает в себя несколько человек, так что экспертные знания разных людей используются для принятия решений.

Расчет для этого можно дать следующим образом –

Число людей, предпочитающих xi xj = N left(xi,xj right)

Общее количество лиц, принимающих решения = n

Тогда SC left(xi,xj right)= fracN left(xi,xj right)n

Многоцелевое принятие решений

Многоцелевое принятие решений происходит тогда, когда необходимо реализовать несколько целей. Есть следующие две проблемы в этом типе принятия решений –

  • Получить правильную информацию, связанную с удовлетворением поставленных задач различными альтернативами.

  • Взвесить относительную важность каждой цели.

Получить правильную информацию, связанную с удовлетворением поставленных задач различными альтернативами.

Взвесить относительную важность каждой цели.

Математически мы можем определить вселенную из n альтернатив как –

A= left[a1,a2,...,ai,...,an right]

И набор «m» целей как O= left[o1,o2,...,oi,...,on right]

Принятие решений с несколькими атрибутами

Принятие решения с несколькими атрибутами происходит, когда оценка альтернатив может быть выполнена на основе нескольких атрибутов объекта. Атрибутами могут быть числовые данные, лингвистические данные и качественные данные.

Математически многофакторная оценка выполняется на основе линейного уравнения следующим образом:

Y=A1X1+A2X2+...+AiXi+...+ArXr

Нечеткая логика – система управления

Нечеткая логика с большим успехом применяется в различных приложениях управления. Почти все потребительские товары имеют нечеткое управление. Некоторые из примеров включают в себя регулирование температуры в вашей комнате с помощью кондиционера, антиблокировочной системы, используемой в транспортных средствах, управления на светофорах, стиральных машинах, крупных экономических системах и т. Д.

Зачем использовать нечеткую логику в системах управления

Система управления – это совокупность физических компонентов, предназначенных для изменения другой физической системы, чтобы эта система демонстрировала определенные желаемые характеристики. Ниже приведены некоторые причины использования нечеткой логики в системах управления.

  • При применении традиционного контроля необходимо знать модель и целевую функцию, сформулированные в точных терминах. Это делает его очень сложным для применения во многих случаях.

  • Применяя нечеткую логику для управления, мы можем использовать человеческий опыт и опыт для разработки контроллера.

  • Нечеткие правила управления, в основном правила IF-THEN, лучше всего использовать при разработке контроллера.

При применении традиционного контроля необходимо знать модель и целевую функцию, сформулированные в точных терминах. Это делает его очень сложным для применения во многих случаях.

Применяя нечеткую логику для управления, мы можем использовать человеческий опыт и опыт для разработки контроллера.

Нечеткие правила управления, в основном правила IF-THEN, лучше всего использовать при разработке контроллера.

Допущения в дизайне нечеткой логики (FLC)

При разработке нечеткой системы управления следует сделать следующие шесть основных предположений:

  • Завод является наблюдаемым и управляемым – необходимо предположить, что входные, выходные и переменные состояния доступны для целей наблюдения и контроля.

  • Существование тела знаний. Следует предположить, что существует тело знаний, имеющее лингвистические правила и набор данных ввода-вывода, из которых можно извлечь правила.

  • Существование решения. Необходимо предположить, что решение существует.

  • «Достаточно хорошего» решения достаточно – управляющая техника должна искать «достаточно хорошее» решение, а не оптимальное.

  • Диапазон точности – контроллер нечеткой логики должен быть сконструирован в допустимом диапазоне точности.

  • Вопросы стабильности и оптимальности . Вопросы стабильности и оптимальности должны быть открыты при разработке логического контроллера Fuzzy, а не решаться в явном виде.

Завод является наблюдаемым и управляемым – необходимо предположить, что входные, выходные и переменные состояния доступны для целей наблюдения и контроля.

Существование тела знаний. Следует предположить, что существует тело знаний, имеющее лингвистические правила и набор данных ввода-вывода, из которых можно извлечь правила.

Существование решения. Необходимо предположить, что решение существует.

«Достаточно хорошего» решения достаточно – управляющая техника должна искать «достаточно хорошее» решение, а не оптимальное.

Диапазон точности – контроллер нечеткой логики должен быть сконструирован в допустимом диапазоне точности.

Вопросы стабильности и оптимальности . Вопросы стабильности и оптимальности должны быть открыты при разработке логического контроллера Fuzzy, а не решаться в явном виде.

Архитектура нечеткой логики

Следующая диаграмма показывает архитектуру Fuzzy Logic Control (FLC).

Архитектура управления нечеткой логикой

Основные компоненты FLC

Ниже приведены основные компоненты FLC, как показано на рисунке выше.

  • Fuzzifier – роль fuzzifier заключается в преобразовании четких входных значений в нечеткие значения.

  • База нечетких знаний – хранит знания обо всех нечетких отношениях ввода-вывода. Он также имеет функцию принадлежности, которая определяет входные переменные для базы нечетких правил и выходные переменные для контролируемой установки.

  • База нечетких правил – хранит знания о работе процесса домена.

  • Механизм вывода – действует как ядро ​​любого FLC. В основном это моделирует человеческие решения, выполняя приблизительные рассуждения.

  • Defuzzifier – роль дефаззификатора заключается в преобразовании нечетких значений в четкие значения, полученные из механизма нечеткого вывода.

Fuzzifier – роль fuzzifier заключается в преобразовании четких входных значений в нечеткие значения.

База нечетких знаний – хранит знания обо всех нечетких отношениях ввода-вывода. Он также имеет функцию принадлежности, которая определяет входные переменные для базы нечетких правил и выходные переменные для контролируемой установки.

База нечетких правил – хранит знания о работе процесса домена.

Механизм вывода – действует как ядро ​​любого FLC. В основном это моделирует человеческие решения, выполняя приблизительные рассуждения.

Defuzzifier – роль дефаззификатора заключается в преобразовании нечетких значений в четкие значения, полученные из механизма нечеткого вывода.

Шаги в разработке FLC

Ниже приведены этапы проектирования FLC.

  • Идентификация переменных – Здесь необходимо определить входные, выходные и переменные состояния объекта, который находится на рассмотрении.

  • Конфигурация нечеткого подмножества – Вселенная информации делится на количество нечетких подмножеств, и каждому подмножеству присваивается лингвистическая метка. Всегда убедитесь, что эти нечеткие подмножества включают в себя все элементы вселенной.

  • Получение функции членства – Теперь получите функцию членства для каждого нечеткого подмножества, которое мы получаем на предыдущем шаге.

  • Конфигурация базы нечетких правил. Теперь сформулируйте базу нечетких правил, задав взаимосвязь между нечетким входом и выходом.

  • Fuzzification – На этом этапе начинается процесс фаззификации.

  • Объединение нечетких выходов – применяя нечеткие приблизительные рассуждения, найдите нечеткий выход и объедините их.

  • Дефаззификация – наконец, запустите процесс дефаззификации , чтобы получить четкое изображение.

Идентификация переменных – Здесь необходимо определить входные, выходные и переменные состояния объекта, который находится на рассмотрении.

Конфигурация нечеткого подмножества – Вселенная информации делится на количество нечетких подмножеств, и каждому подмножеству присваивается лингвистическая метка. Всегда убедитесь, что эти нечеткие подмножества включают в себя все элементы вселенной.

Получение функции членства – Теперь получите функцию членства для каждого нечеткого подмножества, которое мы получаем на предыдущем шаге.

Конфигурация базы нечетких правил. Теперь сформулируйте базу нечетких правил, задав взаимосвязь между нечетким входом и выходом.

Fuzzification – На этом этапе начинается процесс фаззификации.

Объединение нечетких выходов – применяя нечеткие приблизительные рассуждения, найдите нечеткий выход и объедините их.

Дефаззификация – наконец, запустите процесс дефаззификации , чтобы получить четкое изображение.

Преимущества Fuzzy Logic Control

Давайте теперь обсудим преимущества Fuzzy Logic Control.

  • Дешевле – разработка FLC сравнительно дешевле, чем разработка на основе модели или другого контроллера с точки зрения производительности.

  • Надежность – FLC более надежны, чем ПИД-регуляторы, поскольку они способны охватывать широкий диапазон условий эксплуатации.

  • Настраиваемый – FLC можно настраивать.

  • Подражайте человеческому дедуктивному мышлению – в основном, FLC разработан, чтобы подражать человеческому дедуктивному мышлению, процессу, который люди используют, чтобы сделать вывод из того, что они знают.

  • Надежность – FLC надежнее обычной системы управления.

  • Эффективность – нечеткая логика обеспечивает большую эффективность при применении в системе управления.

Дешевле – разработка FLC сравнительно дешевле, чем разработка на основе модели или другого контроллера с точки зрения производительности.

Надежность – FLC более надежны, чем ПИД-регуляторы, поскольку они способны охватывать широкий диапазон условий эксплуатации.

Настраиваемый – FLC можно настраивать.

Подражайте человеческому дедуктивному мышлению – в основном, FLC разработан, чтобы подражать человеческому дедуктивному мышлению, процессу, который люди используют, чтобы сделать вывод из того, что они знают.

Надежность – FLC надежнее обычной системы управления.

Эффективность – нечеткая логика обеспечивает большую эффективность при применении в системе управления.

Недостатки нечеткой логики

Теперь поговорим о недостатках Fuzzy Logic Control.

  • Требует много данных – FLC требует много данных для применения.

  • Полезно в случае умеренных исторических данных – FLC бесполезен для программ, намного меньших или больших, чем исторические данные.

  • Требуется высокий человеческий опыт – это один недостаток, поскольку точность системы зависит от знаний и опыта людей.

  • Требуется регулярное обновление правил – Правила должны обновляться со временем.

Требует много данных – FLC требует много данных для применения.

Полезно в случае умеренных исторических данных – FLC бесполезен для программ, намного меньших или больших, чем исторические данные.

Требуется высокий человеческий опыт – это один недостаток, поскольку точность системы зависит от знаний и опыта людей.

Требуется регулярное обновление правил – Правила должны обновляться со временем.

Адаптивный нечеткий контроллер

В этой главе мы обсудим, что такое адаптивный нечеткий контроллер и как он работает. Adaptive Fuzzy Controller имеет несколько настраиваемых параметров, а также встроенный механизм для их настройки. Адаптивный контроллер был использован для повышения производительности контроллера.

Основные шаги для реализации адаптивного алгоритма

Давайте теперь обсудим основные этапы реализации адаптивного алгоритма.

  • Сбор наблюдаемых данных – наблюдаемые данные собираются для расчета производительности контроллера.

  • Регулировка параметров контроллера – Теперь с помощью производительности контроллера будет произведен расчет настройки параметров контроллера.

  • Улучшение производительности контроллера – на этом этапе параметры контроллера настраиваются для улучшения производительности контроллера.

Сбор наблюдаемых данных – наблюдаемые данные собираются для расчета производительности контроллера.

Регулировка параметров контроллера – Теперь с помощью производительности контроллера будет произведен расчет настройки параметров контроллера.

Улучшение производительности контроллера – на этом этапе параметры контроллера настраиваются для улучшения производительности контроллера.

Операционные концепции

Конструкция контроллера основана на предполагаемой математической модели, которая напоминает реальную систему. Ошибка между реальной системой и ее математическим представлением вычисляется, и если она относительно незначительна, чем предполагается, что модель работает эффективно.

Пороговая константа, которая устанавливает границу эффективности контроллера, также существует. Управляющий вход подается как в реальную систему, так и в математическую модель. Здесь предположим, что x left(t right) – результат работы реальной системы, а y left(t right) – результат математической модели. Тогда ошибка  epsilon left(t right) может быть рассчитана следующим образом:

 epsilon left(t right)=x left(t right)y left(t right)

Здесь x требуемый – это вывод, который мы хотим получить из системы, а  mu left(t right) – это выходной сигнал, поступающий от контроллера и идущий как к реальной, так и к математической модели.

Следующая диаграмма показывает, как функция ошибок отслеживается между выводом реальной системы и математической моделью:

Математическая модель

Параметризация системы

Нечеткий контроллер, конструкция которого основана на нечеткой математической модели, будет иметь следующую форму нечетких правил:

Правило 1 – ЕСЛИ x1 left(tn right) inX11AND...ANDxi left(tn right) inX1i

THEN  mu1 left(tn right)=K11x1 left(tn right)+K12x2 left(tn right)+...+K1ixi left(tn right)

Правило 2 – ЕСЛИ x1 left(tn right) inX21AND...ANDxi left(tn right) inX2i

THEN  mu2 left(tn right)=K21x1 left(tn right)+K22x2 left(tn right)+...+K2ixi left(tn right)

,

,

,

Правило j – ЕСЛИ x1 left(tn right) inXk1AND...ANDxi left(tn right) inXki

THEN  muj left(tn right)=Kj1x1 left(tn right)+Kj2x2 left(tn right)+...+Kjixi left(tn right)

Приведенный выше набор параметров характеризует контроллер.

Механизм регулировки

Параметры контроллера настраиваются для улучшения производительности контроллера. Процесс расчета корректировки параметров является корректирующим механизмом.

Математически, пусть  theta left(n right) будет набором параметров, которые нужно скорректировать в момент времени t=tn. Корректировка может быть пересчетом параметров,

 theta left(n right)= Theta left(D0,D1,...,Dn right)

Здесь Dn – данные, собранные в момент времени t=tn.

Теперь эта формулировка переформулируется обновлением набора параметров на основе его предыдущего значения, как,

 theta left(n right)= phi( thetan1,Dn)

Параметры для выбора адаптивного нечеткого контроллера

Для выбора адаптивного нечеткого контроллера необходимо учитывать следующие параметры:

  • Может ли система быть полностью аппроксимирована нечеткой моделью?

  • Если система может быть полностью аппроксимирована нечеткой моделью, доступны ли параметры этой нечеткой модели или они должны быть определены онлайн?

  • Если система не может быть полностью аппроксимирована нечеткой моделью, может ли она быть кусочно аппроксимирована набором нечеткой модели?

  • Если система может быть аппроксимирована набором нечетких моделей, имеют ли эти модели одинаковый формат с разными параметрами или они имеют разные форматы?

  • Если система может быть аппроксимирована набором нечетких моделей, имеющих один и тот же формат, каждая с разным набором параметров, доступны ли эти наборы параметров или они должны быть определены онлайн?

Может ли система быть полностью аппроксимирована нечеткой моделью?

Если система может быть полностью аппроксимирована нечеткой моделью, доступны ли параметры этой нечеткой модели или они должны быть определены онлайн?

Если система не может быть полностью аппроксимирована нечеткой моделью, может ли она быть кусочно аппроксимирована набором нечеткой модели?

Если система может быть аппроксимирована набором нечетких моделей, имеют ли эти модели одинаковый формат с разными параметрами или они имеют разные форматы?

Если система может быть аппроксимирована набором нечетких моделей, имеющих один и тот же формат, каждая с разным набором параметров, доступны ли эти наборы параметров или они должны быть определены онлайн?

Нечеткость в нейронных сетях

Искусственная нейронная сеть (ANN) – это сеть эффективных вычислительных систем, центральная тема которой заимствована из аналогии биологических нейронных сетей. ANN также называют «искусственными нейронными системами», параллельными системами распределенной обработки, «системами соединения». ANN приобретает большую коллекцию блоков, которые связаны по некоторой схеме, чтобы обеспечить связь между блоками. Эти единицы, также называемые узлами или нейронами, являются простыми процессорами, которые работают параллельно.

Каждый нейрон связан с другим нейроном через канал связи. Каждая ссылка на соединение связана с весом, имеющим информацию о входном сигнале. Это наиболее полезная информация для нейронов для решения конкретной проблемы, потому что вес обычно препятствует передаче сигнала. Каждый нейрон имеет свое внутреннее состояние, которое называется сигналом активации. Выходные сигналы, которые вырабатываются после объединения входных сигналов и правила активации, могут быть отправлены в другие устройства. Он также состоит из смещения ‘b’, вес которого всегда равен 1.

Модель нейронной сети

Зачем использовать Fuzzy Logic в нейронной сети?

Как уже говорилось выше, каждый нейрон в ANN связан с другим нейроном через канал связи, и этот канал связан с весом, имеющим информацию о входном сигнале. Следовательно, мы можем сказать, что веса имеют полезную информацию о входных данных для решения проблем.

Ниже приведены некоторые причины использования нечеткой логики в нейронных сетях.

  • Нечеткая логика в основном используется для определения весов из нечетких множеств в нейронных сетях.

  • Когда невозможно применить четкие значения, используются нечеткие значения.

  • Мы уже изучали, что обучение и обучение помогают нейронным сетям лучше работать в непредвиденных ситуациях. В то время нечеткие значения были бы более применимыми, чем четкие значения.

  • Когда мы используем нечеткую логику в нейронных сетях, тогда значения не должны быть четкими, и обработка может выполняться параллельно.

Нечеткая логика в основном используется для определения весов из нечетких множеств в нейронных сетях.

Когда невозможно применить четкие значения, используются нечеткие значения.

Мы уже изучали, что обучение и обучение помогают нейронным сетям лучше работать в непредвиденных ситуациях. В то время нечеткие значения были бы более применимыми, чем четкие значения.

Когда мы используем нечеткую логику в нейронных сетях, тогда значения не должны быть четкими, и обработка может выполняться параллельно.

Нечеткая познавательная карта

Это форма нечеткости в нейронных сетях. По сути, FCM похож на динамический конечный автомат с нечеткими состояниями (не только 1 или 0).

Сложность использования нечеткой логики в нейронных сетях

Несмотря на многочисленные преимущества, при использовании нечеткой логики в нейронных сетях есть некоторые трудности. Сложность связана с правилами членства, необходимостью построения нечеткой системы, потому что иногда сложно определить ее с помощью данного набора сложных данных.

Нейронно-обученная нечеткая логика

Обратная связь между нейронной сетью и нечеткой логикой, то есть нейронной сетью, используемой для обучения нечеткой логике, также является хорошей областью изучения. Ниже приведены две основные причины построения нейронной нечеткой логики:

  • Новые шаблоны данных могут быть легко изучены с помощью нейронных сетей, следовательно, их можно использовать для предварительной обработки данных в нечетких системах.

  • Нейронная сеть, благодаря своей способности изучать новые отношения с новыми входными данными, может использоваться для уточнения нечетких правил для создания нечеткой адаптивной системы.

Новые шаблоны данных могут быть легко изучены с помощью нейронных сетей, следовательно, их можно использовать для предварительной обработки данных в нечетких системах.

Нейронная сеть, благодаря своей способности изучать новые отношения с новыми входными данными, может использоваться для уточнения нечетких правил для создания нечеткой адаптивной системы.

Примеры нейронно-обученной нечеткой системы

Нейронно-обученные нечеткие системы используются во многих коммерческих приложениях. Давайте теперь посмотрим на несколько примеров применения нейронно-обученной нечеткой системы:

  • Лаборатория международных исследований по нечеткой инженерии (LIFE) в Иокогаме, Япония, имеет нейронную сеть с обратным распространением, которая выводит нечеткие правила. Эта система была успешно применена к валютной торговой системе с приблизительно 5000 нечетких правил.

  • Компания Ford Motor разработала обучаемые нечеткие системы для контроля скорости холостого хода автомобиля.

  • NeuFuz, программный продукт National Semiconductor Corporation, поддерживает создание нечетких правил с нейронной сетью для приложений управления.

  • Немецкая корпорация AEG использует обученную нейронную систему нечеткого управления для своей машины для экономии воды и энергии. Всего 157 нечетких правил.

Лаборатория международных исследований по нечеткой инженерии (LIFE) в Иокогаме, Япония, имеет нейронную сеть с обратным распространением, которая выводит нечеткие правила. Эта система была успешно применена к валютной торговой системе с приблизительно 5000 нечетких правил.

Компания Ford Motor разработала обучаемые нечеткие системы для контроля скорости холостого хода автомобиля.

NeuFuz, программный продукт National Semiconductor Corporation, поддерживает создание нечетких правил с нейронной сетью для приложений управления.

Немецкая корпорация AEG использует обученную нейронную систему нечеткого управления для своей машины для экономии воды и энергии. Всего 157 нечетких правил.

Fuzzy Logic – Приложения

В этой главе мы обсудим области, в которых концепции нечеткой логики широко применяются.

авиационно-космический

В аэрокосмической технике нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Высотный контроль космического корабля
  • Спутниковый контроль высоты
  • Регулирование расхода и смеси в противогололедных транспортных средствах

автомобильный

В автомобилестроении нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Обучаемые нечеткие системы для контроля холостого хода
  • Метод планирования смены для автоматической коробки передач
  • Интеллектуальные системы шоссе
  • Управление движением
  • Повышение эффективности автоматических коробок передач

Бизнес

В бизнесе нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Системы поддержки принятия решений
  • Оценка персонала в крупной компании

Защита

В защите нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Подводное распознавание целей
  • Автоматическое распознавание цели тепловых инфракрасных изображений
  • Военно-морские средства поддержки принятия решений
  • Управление гиперскоростным перехватчиком
  • Нечеткое моделирование принятия решений НАТО

электроника

В электронике нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Контроль автоматической экспозиции в видеокамерах
  • Влажность в чистой комнате
  • Системы кондиционирования воздуха
  • Стиральная машина времени
  • Микроволновые печи
  • Пылесосы

финансов

В области финансов нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Контроль за переводом банкнот
  • Управление фондом
  • Прогнозы фондового рынка

Производственный сектор

В промышленности нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Цементная печь контролирует теплообменник
  • Контроль процесса очистки сточных вод с активным илом
  • Контроль очистки воды
  • Количественный анализ моделей для обеспечения промышленного качества
  • Управление проблемами удовлетворения ограничений в структурном проектировании
  • Контроль очистных сооружений

производство

В обрабатывающей промышленности нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Оптимизация производства сыра
  • Оптимизация производства молока

морской

В морской области нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Автопилот для кораблей
  • Оптимальный выбор маршрута
  • Управление автономными подводными аппаратами
  • Управление кораблем

медицинская

В медицинской области нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Система медицинской диагностики
  • Контроль артериального давления во время анестезии
  • Многовариантный контроль наркоза
  • Моделирование нейропатологических данных у пациентов с болезнью Альцгеймера
  • Радиологические диагнозы
  • Нечеткая диагностика диабета и рака простаты

ценные бумаги

В ценных бумагах нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Системы принятия решений для торговли ценными бумагами
  • Различная техника безопасности

Транспорт

В транспортировке нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Автоматическая работа метро
  • Контроль расписания поездов
  • Железнодорожное ускорение
  • Торможение и остановка

Распознавание образов и классификация

В Распознавании образов и классификации нечеткая логика используется в следующих областях:

  • Распознавание речи на основе нечеткой логики
  • Нечеткая логика на основе
  • Распознавание почерка
  • Анализ характеристик лица на основе нечеткой логики
  • Анализ команд
  • Нечеткий поиск изображений

Психология

В психологии нечеткая логика используется в следующих областях: