TensorFlow — математические основы

Важно понять математические понятия, необходимые для TensorFlow, прежде чем создавать базовое приложение в TensorFlow. Математика считается сердцем любого алгоритма машинного обучения. Именно с помощью основных понятий математики определяется решение для конкретного алгоритма машинного обучения.

Вектор

Массив чисел, который является либо непрерывным, либо дискретным, определяется как вектор. Алгоритмы машинного обучения работают с векторами фиксированной длины для лучшего генерирования выходных данных.

Алгоритмы машинного обучения работают с многомерными данными, поэтому векторы играют решающую роль.

Графическое представление векторной модели показано ниже:

скаляр

Скаляр может быть определен как одномерный вектор. Скаляры — это те, которые включают только величину и отсутствие направления. Со скалярами нас интересует только величина.

Примеры скаляров включают в себя параметры веса и роста детей.

матрица

Матрица может быть определена как многомерные массивы, которые расположены в формате строк и столбцов. Размер матрицы определяется длиной строки и длиной столбца. На следующем рисунке показано представление любой указанной матрицы.

Рассмотрим матрицу с «m» строками и «n» столбцами, как упомянуто выше, представление матрицы будет определено как «m * n matrix», которое также определило длину матрицы.

Математические вычисления

В этом разделе мы узнаем о различных математических вычислениях в TensorFlow.

Добавление матриц

Добавление двух или более матриц возможно, если матрицы имеют одинаковое измерение. Добавление подразумевает добавление каждого элемента в соответствии с заданной позицией.

Рассмотрим следующий пример, чтобы понять, как работает сложение матриц:

$$Пример: A = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} B = \ begin {bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \ end {bmatrix} \: then \: A + B = \ begin {bmatrix} 1 + 5 & 2 + 6 \\ 3 + 7 & 4 + 8 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \ end {bmatrix}$$

Вычитание матриц

Вычитание матриц работает аналогично добавлению двух матриц. Пользователь может вычесть две матрицы при условии, что размеры равны.

$$Пример: A- \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} B- \ begin {bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \ end {bmatrix} \: then \: AB - \ begin {bmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \ end {bmatrix} - \ begin {bmatrix} -4 & -4 \\ - 4 & -4 \ end {bmatrix}$$

Умножение матриц

Для того чтобы две матрицы A m * n и B p * q были умножаемыми, n должно быть равно p . Полученная матрица —

C m * q

$$A = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} B = \ begin {bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \ end {bmatrix}$$

$$c_ {11} = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 5 \\ 7 \ end {bmatrix} = 1 \ times5 + 2 \ times7 = 19 \: c_ {12} = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 6 \\ 8 \ end {bmatrix} = 1 \ times6 + 2 \ times8 = 22$$

$$c_ {21} = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 5 \\ 7 \ end {bmatrix} = 3 \ times5 + 4 \ times7 = 43 \: c_ {22} = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 6 \\ 8 \ end {bmatrix} = 3 \ times6 + 4 \ times8 = 50$$

$$C = \ begin {bmatrix} c_ {11} & c_ {12} \\ c_ {21} & c_ {22} \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \ end {bmatrix}$$

Транспонировать матрицы

Транспонирование матрицы A, m * n обычно представляется AT (транспонирование) n * m и получается путем транспонирования векторов столбцов в качестве векторов строк.

$$Пример: A = \ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} \: then \: A ^ {T} \ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \ end { bmatrix}$$

Точечное произведение векторов

Любой вектор размерности n можно представить в виде матрицы v = R ^ n * 1.

v1= beginbmatrixv11v12 cdot cdot cdotv1n endbmatrixv2= beginbmatrixv21v22 cdot cdot cdotv2n endbmatrix $$v_ {1} = \ begin {bmatrix} v_ {11} \\ v_ {12} \\\ cdot \\\ cdot \\\ cdot \\ v_ {1n} \ end {bmatrix} v_ {2} = \ begin {bmatrix} v_ {21} \\ v_ {22} \\\ cdot \\\ cdot \\\ cdot \\ v_ {2n} \ end {bmatrix}$$

Точечное произведение двух векторов является суммой произведений соответствующих компонентов — Компонентов вдоль одного измерения и может быть выражено как

$$v_ {1} \ cdot v_ {2} = v_1 ^ Tv_ {2} = v_2 ^ Tv_ {1} = v_ {11} v_ {21} + v_ {12} v_ {22} + \ cdot \ cdot + v_ {1n} v_ {2n} = \ displaystyle \ sum \ limit_ {k = 1} ^ n v_ {1k} v_ {2k}$$

Пример точечного произведения векторов приведен ниже —

Пример:v1= beginbmatrix123 endbmatrixv2= beginbmatrix35−1 endbmatrixv1 cdotv2=vT1v2=1 times3+2 times5−3 times1=10 $$Пример: v_ {1} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \ end {bmatrix} v_ {2} = \ begin {bmatrix} 3 \\ 5 \\ - 1 \ end {bmatrix} v_ {1} \ cdot v_ {2} = v_1 ^ Tv_ {2} = 1 \ times3 + 2 \ times5-3 \ times1 = 10$$