Учебники

MATLAB — Исчисление

Ноябрь 13, 2018

MATLAB предоставляет различные способы решения задач дифференциального и интегрального исчисления, решения дифференциальных уравнений любой степени и расчета пределов. Лучше всего, вы можете легко построить графики сложных функций и проверить максимумы, минимумы и другие точки канцелярских товаров на графике, решив исходную функцию, а также ее производную.

В этой главе будут рассмотрены проблемы исчисления. В этой главе мы обсудим концепции предисчисления, то есть вычисления пределов функций и проверки свойств пределов.

В следующей главе Дифференциал мы вычислим производную выражения и найдем локальные максимумы и минимумы на графе. Мы также обсудим решение дифференциальных уравнений.

Наконец, в главе « Интеграция» мы обсудим интегральное исчисление.

Расчет лимитов

MATLAB предоставляет функцию предела для расчета пределов. В своей основной форме функция limit принимает выражение в качестве аргумента и находит предел выражения, когда независимая переменная стремится к нулю.

Например, давайте вычислим предел функции f (x) = (x 3 + 5) / (x 4 + 7), когда x стремится к нулю. 

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат — 

ans =
   5/7

Функция предела относится к области символьных вычислений; вам нужно использовать функцию syms, чтобы сообщить MATLAB, какие символические переменные вы используете. Вы также можете вычислить предел функции, так как переменная стремится к некоторому числу, отличному от нуля. Чтобы вычислить lim x-> a (f (x)), мы используем команду limit с аргументами. Первое — это выражение, а второе — число, к которому подходит x , здесь это a .

Например, давайте вычислим предел функции f (x) = (x-3) / (x-1), поскольку x стремится к 1. 

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат — 

ans =
   NaN

Давайте возьмем другой пример, 

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат — 

ans =
   14

Расчет лимитов с использованием октавы

Ниже приведена октавная версия приведенного выше примера с использованием символического пакета, попробуйте выполнить и сравнить результат — 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат — 

ans =
   0.7142857142857142857

Проверка основных свойств пределов

Алгебраическая предельная теорема обеспечивает некоторые основные свойства пределов. Это следующие —

Основные свойства пределов

Давайте рассмотрим две функции —

  • f (x) = (3x + 5) / (x — 3)
  • г (х) = х 2 + 1.

Давайте вычислим пределы функций при стремлении x к 5 для обеих функций и проверим основные свойства пределов, используя эти две функции и MATLAB.

пример

Создайте файл сценария и введите в него следующий код — 

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

Когда вы запускаете файл, он отображает — 

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

Проверка основных свойств лимитов с использованием октавы

Ниже приведена октавная версия приведенного выше примера с использованием символического пакета, попробуйте выполнить и сравнить результат — 

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат — 

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

Левый и Правосторонний Пределы

Когда функция имеет разрыв для некоторого конкретного значения переменной, в этой точке ограничение не существует. Другими словами, пределы функции f (x) имеют разрыв при x = a, когда значение предела, когда x приближается к x с левой стороны, не равно значению предела, когда x приближается с правой стороны.

Это приводит к концепции пределов для левшей и правшей. Предел для левой руки определяется как предел как x -> a слева, т. Е. X приближается к a для значений x <a. Правосторонний предел определяется как предел как x -> a справа, т. Е. X приближается к a для значений x> a. Когда левосторонний лимит и правосторонний лимит не равны, этот предел не существует.

Давайте рассмотрим функцию —

f (x) = (x — 3) / | x — 3 |

Покажем, что lim x-> 3 f (x) не существует. MATLAB помогает нам установить этот факт двумя способами —

  • Построить график функции и показать разрыв.
  • Вычисляя пределы и показывая, что оба они разные.

Пределы для левшей и правшей вычисляются путем передачи строк символов ‘left’ и ‘right’ в команду limit в качестве последнего аргумента.

пример

Создайте файл сценария и введите в него следующий код — 

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

Когда вы запускаете файл, MATLAB рисует следующий график

Разрыв в функции

После этого отображается следующий вывод —

89
Share: