Учебники

MATLAB – Дифференциал

MATLAB предоставляет команду diff для вычисления символьных производных. В простейшей форме вы передаете функцию, которую вы хотите дифференцировать, команде diff в качестве аргумента.

Например, давайте вычислим производную функции f (t) = 3t 2 + 2t -2

пример

Создайте файл сценария и введите в него следующий код –

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)

Когда приведенный выше код компилируется и выполняется, он дает следующий результат –

ans =
6*t - 4/t^3

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета –

pkg load symbolic
symbols

t = sym("t");
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
differentiate(f,t)

Octave выполняет код и возвращает следующий результат –

ans =
   -(4.0)*t^(-3.0)+(6.0)*t

Проверка элементарных правил дифференциации

Кратко сформулируем различные уравнения или правила дифференцирования функций и проверим эти правила. Для этого мы напишем f ‘(x) для производной первого порядка и f “(x) для производной второго порядка.

Ниже приведены правила для дифференциации –

Правило 1

Для любых функций f и g и любых действительных чисел a и b являются производными функции –

h (x) = af (x) + bg (x) относительно x определяется как –

h ‘(x) = af’ (x) + bg ‘(x)

Правило 2

Правила сумм и вычитаний гласят, что если f и g две функции, то f ‘и g’ являются их производными соответственно, тогда

( f + g) ‘= f’ + g ‘

(f – g) ‘= f’ – g ‘

Правило 3

Правило произведения гласит, что если f и g две функции, f ‘и g’ являются их производными соответственно, то

(fg) ‘= f’.g + g’.f

Правило 4

Правило отношения гласит, что если f и g две функции, f ‘и g’ являются их производными соответственно, то

(f / g) ‘= (f’.g – g’.f) / g 2

Правило 5

Полиномиальное или элементарное степенное правило гласит, что если y = f (x) = x n , то f ‘= n. х (н-1)

Прямым результатом этого правила является то, что производная любой константы равна нулю, т. Е. Если y = k , любая константа, то

f ‘= 0

Правило 6

Правило цепочки гласит, что производная функции функции h (x) = f (g (x)) по x равна

h ‘(x) = f’ (g (x)). g ‘(x)

пример

Создайте файл сценария и введите в него следующий код –

syms x
syms t

f = (x + 2)*(x^2 + 3)
der1 = diff(f)

f = (t^2 + 3)*(sqrt(t) + t^3)
der2 = diff(f)

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
der3 = diff(f)

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
der4 = diff(f)

f = (x^2 + 1)^17
der5 = diff(f)

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6)
der6 = diff(f)

Когда вы запускаете файл, MATLAB отображает следующий результат –

f =
   (x^2 + 3)*(x + 2)
 
   der1 =
   2*x*(x + 2) + x^2 + 3
  
f =
   (t^(1/2) + t^3)*(t^2 + 3)
 
   der2 =
   (t^2 + 3)*(3*t^2 + 1/(2*t^(1/2))) + 2*t*(t^(1/2) + t^3)
  
f =
   (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2)
  
der3 =
   (2*x - 2)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) - (- 9*x^2 + 10*x)*(x^2 - 2*x + 1)
 
f =
   (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1)
  
der4 =
   (4*x + 3)/(x^3 + 1) - (3*x^2*(2*x^2 + 3*x))/(x^3 + 1)^2
  
f =
   (x^2 + 1)^17
  
der5 =
   34*x*(x^2 + 1)^16
  
f =
   1/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^6
  
der6 =
   -(6*(3*t^2 + 6*t + 5))/(t^3 + 3*t^2 + 5*t - 9)^7

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета –

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
t = sym("t");

f = (x + 2)*(x^2 + 3) 
der1 = differentiate(f,x) 

f = (t^2 + 3)*(t^(1/2) + t^3) 
der2 = differentiate(f,t) 

f = (x^2 - 2*x + 1)*(3*x^3 - 5*x^2 + 2) 
der3 = differentiate(f,x) 

f = (2*x^2 + 3*x)/(x^3 + 1) 
der4 = differentiate(f,x) 

f = (x^2 + 1)^17 
der5 = differentiate(f,x) 

f = (t^3 + 3* t^2 + 5*t -9)^(-6) 
der6 = differentiate(f,t)

Octave выполняет код и возвращает следующий результат –

f =

(2.0+x)*(3.0+x^(2.0))
der1 =

3.0+x^(2.0)+(2.0)*(2.0+x)*x
f =

(t^(3.0)+sqrt(t))*(3.0+t^(2.0))
der2 =

(2.0)*(t^(3.0)+sqrt(t))*t+((3.0)*t^(2.0)+(0.5)*t^(-0.5))*(3.0+t^(2.0))
f =

(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))
der3 =

(-2.0+(2.0)*x)*(2.0-(5.0)*x^(2.0)+(3.0)*x^(3.0))+((9.0)*x^(2.0)-(10.0)*x)*(1.0+x^(2.0)-(2.0)*x)
f =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
der4 =

(1.0+x^(3.0))^(-1)*(3.0+(4.0)*x)-(3.0)*(1.0+x^(3.0))^(-2)*x^(2.0)*((2.0)*x^(2.0)+(3.0)*x)
f =

(1.0+x^(2.0))^(17.0)
der5 =

(34.0)*(1.0+x^(2.0))^(16.0)*x
f =

(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-6.0)
der6 =

-(6.0)*(-9.0+(3.0)*t^(2.0)+t^(3.0)+(5.0)*t)^(-7.0)*(5.0+(3.0)*t^(2.0)+(6.0)*t)

Производные экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций

В следующей таблице приведены производные от часто используемых экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических функций.

функция производный
топор с c ax. ln ca (ln – натуральный логарифм)
е х е х
ln x 1 / х
ln c x 1 / x.ln c
х х х х (1 + лн х)
грех (х) сов (х)
сов (х) -sin (х)
тангенс (х) sec 2 (x), или 1 / cos 2 (x), или 1 + tan 2 (x)
кроватка (х) -csc 2 (x) или -1 / sin 2 (x) или – (1 + кроватка 2 (x))
с (х) с (х) .tan (х)
CSC (х) -csc (х) .cot (х)

пример

Создайте файл сценария и введите в него следующий код –

syms x
y = exp(x)
diff(y)

y = x^9
diff(y)

y = sin(x)
diff(y)

y = tan(x)
diff(y)

y = cos(x)
diff(y)

y = log(x)
diff(y)

y = log10(x)
diff(y)

y = sin(x)^2
diff(y)

y = cos(3*x^2 + 2*x + 1)
diff(y)

y = exp(x)/sin(x)
diff(y)

Когда вы запускаете файл, MATLAB отображает следующий результат –

y =
   exp(x)
   ans =
   exp(x)

y =
   x^9
   ans =
   9*x^8
  
y =
   sin(x)
   ans =
   cos(x)
  
y =
   tan(x)
   ans =
   tan(x)^2 + 1
 
y =
   cos(x)
   ans =
   -sin(x)
  
y =
   log(x)
   ans =
   1/x
  
y =
   log(x)/log(10)
   ans =
   1/(x*log(10))
 
y =
   sin(x)^2
   ans =
   2*cos(x)*sin(x)
 
y =
   cos(3*x^2 + 2*x + 1)
   ans =
   -sin(3*x^2 + 2*x + 1)*(6*x + 2)
  
y =
   exp(x)/sin(x)
   ans =
   exp(x)/sin(x) - (exp(x)*cos(x))/sin(x)^2

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета –

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = Exp(x)
differentiate(y,x)

y = x^9
differentiate(y,x)

y = Sin(x)
differentiate(y,x)

y = Tan(x)
differentiate(y,x)

y = Cos(x)
differentiate(y,x)

y = Log(x)
differentiate(y,x)

% symbolic packages does not have this support
%y = Log10(x)
%differentiate(y,x)

y = Sin(x)^2
differentiate(y,x)

y = Cos(3*x^2 + 2*x + 1)
differentiate(y,x)

y = Exp(x)/Sin(x)
differentiate(y,x)

Octave выполняет код и возвращает следующий результат –

y =

exp(x)
ans =

exp(x)
y =

x^(9.0)
ans =

(9.0)*x^(8.0)
y =

sin(x)
ans =

cos(x)
y =

tan(x)
ans =

1+tan(x)^2
y =

cos(x)
ans =

-sin(x)
y =

log(x)
ans =

x^(-1)
y =

sin(x)^(2.0)
ans =

(2.0)*sin(x)*cos(x)
y =

cos(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
ans =

-(2.0+(6.0)*x)*sin(1.0+(2.0)*x+(3.0)*x^(2.0))
y =

sin(x)^(-1)*exp(x)
ans =

sin(x)^(-1)*exp(x)-sin(x)^(-2)*cos(x)*exp(x)

Вычисление производных высшего порядка

Для вычисления старших производных функции f мы используем синтаксис diff (f, n) .

Вычислим вторую производную функции y = f (x) = x .e -3x

f = x*exp(-3*x);
diff(f, 2)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат –

ans =
9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета –

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = x*Exp(-3*x);
differentiate(f, x, 2)

Octave выполняет код и возвращает следующий результат –

ans =

(9.0)*exp(-(3.0)*x)*x-(6.0)*exp(-(3.0)*x)

пример

В этом примере давайте решим проблему. Учитывая, что функция y = f (x) = 3 sin (x) + 7 cos (5x) . Нам нужно выяснить, выполняется ли уравнение f “+ f = -5cos (2x) .

Создайте файл сценария и введите в него следующий код –

syms x
y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);  % defining the function
lhs = diff(y,2)+y;        %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*cos(2*x);        %rhs of the equation
if(isequal(lhs,rhs))
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат –

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-168*cos(5*x)

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета –

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 3*Sin(x)+7*Cos(5*x);           % defining the function
lhs = differentiate(y, x, 2) + y;  %evaluting the lhs of the equation
rhs = -5*Cos(2*x);                 %rhs of the equation

if(lhs == rhs)
   disp('Yes, the equation holds true');
else
   disp('No, the equation does not hold true');
end
disp('Value of LHS is: '), disp(lhs);

Octave выполняет код и возвращает следующий результат –

No, the equation does not hold true
Value of LHS is: 
-(168.0)*cos((5.0)*x)

Нахождение максимумов и минимумов кривой

Если мы ищем локальные максимумы и минимумы для графика, мы в основном ищем самые высокие или самые низкие точки на графике функции в определенной местности или для определенного диапазона значений символической переменной.

Для функции y = f (x) точки на графе, где граф имеет нулевой наклон, называются стационарными точками . Другими словами, стационарные точки – это где f ‘(x) = 0.

Чтобы найти стационарные точки функции, которую мы дифференцируем, нам нужно установить производную равной нулю и решить уравнение.

пример

Найдем стационарные точки функции f (x) = 2x 3 + 3x 2 – 12x + 17

Сделайте следующие шаги –

Сначала давайте введем функцию и построим ее график.

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий график –

В поисках максимумов и минимумов

Вот октавный эквивалентный код для приведенного выше примера –

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y)
print -deps graph.eps

Наша цель – найти некоторые локальные максимумы и минимумы на графике, поэтому давайте найдем локальные максимумы и минимумы для интервала [-2, 2] на графике.

syms x
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;   % defining the function
ezplot(y, [-2, 2])

MATLAB выполняет код и возвращает следующий график –

В поисках максимумов и минимумов

Вот октавный эквивалентный код для приведенного выше примера –

pkg load symbolic
symbols

x = sym('x');
y = inline("2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17");

ezplot(y, [-2, 2])
print -deps graph.eps

Далее, давайте вычислим производную.

g = diff(y)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат –

g =
   6*x^2 + 6*x - 12

Вот октавный эквивалент приведенного выше расчета –

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

Octave выполняет код и возвращает следующий результат –

g =
   -12.0+(6.0)*x+(6.0)*x^(2.0)

Давайте решим производную функцию g, чтобы получить значения, где она становится равной нулю.

s = solve(g)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат –

s =
   1
   -2

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета –

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)
roots([6, 6, -12])

Octave выполняет код и возвращает следующий результат –

g =

-12.0+(6.0)*x^(2.0)+(6.0)*x
ans =

  -2
   1

Это согласуется с нашим сюжетом. Итак, давайте оценим функцию f в критических точках x = 1, -2. Мы можем подставить значение в символическую функцию с помощью команды subs .

subs(y, 1), subs(y, -2)

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат –

ans =
   10
ans =
   37

Ниже приведен октавный эквивалент приведенного выше расчета –

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
y = 2*x^3 + 3*x^2 - 12*x + 17;
g = differentiate(y,x)

roots([6, 6, -12])
subs(y, x, 1), subs(y, x, -2)

ans =
   10.0
ans =
   37.0-4.6734207789940138748E-18*I

Следовательно, минимальное и максимальное значения для функции f (x) = 2x 3 + 3x 2 – 12x + 17 в интервале [-2,2] составляют 10 и 37.

Решение дифференциальных уравнений

MATLAB предоставляет команду dsolve для символического решения дифференциальных уравнений.

Наиболее простой формой команды dsolve для поиска решения одного уравнения является

dsolve('eqn') 

где eqn – текстовая строка, используемая для ввода уравнения.

Он возвращает символическое решение с набором произвольных констант, которые MATLAB помечает C1, C2 и так далее.

Вы также можете указать начальные и граничные условия для задачи в виде списка с разделителями-запятыми после уравнения в виде –

dsolve('eqn','cond1', 'cond2',…)  

В целях использования команды dsolve производные обозначены знаком D. Например, уравнение типа f ‘(t) = -2 * f + стоимость (t) вводится как –

‘Df = -2 * f + cos (t)’

Высшие производные обозначены следующим за D порядком производной.

Например, уравнение f “(x) + 2f ‘(x) = 5sin3x должно быть введено как –

‘D2y + 2Dy = 5 * sin (3 * x)’

Давайте рассмотрим простой пример дифференциального уравнения первого порядка: y ‘= 5y.

s = dsolve('Dy = 5*y')

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат –

s =
   C2*exp(5*t)

Давайте рассмотрим другой пример дифференциального уравнения второго порядка: y “- y = 0, y (0) = -1, y ‘(0) = 2.

dsolve('D2y - y = 0','y(0) = -1','Dy(0) = 2')

MATLAB выполняет код и возвращает следующий результат –