До сих пор мы видели, что все примеры работают как в MATLAB, так и в его GNU, альтернативно называемом Octave. Но для решения основных алгебраических уравнений и MATLAB, и Octave немного отличаются, поэтому мы постараемся охватить MATLAB и Octave в отдельных разделах.
Мы также обсудим факторизацию и упрощение алгебраических выражений.
Решение основных алгебраических уравнений в MATLAB
Функция решения используется для решения алгебраических уравнений. В простейшем виде функция решения принимает в качестве аргумента уравнение, заключенное в кавычки.
Например, давайте решим для х в уравнении х-5 = 0
solve('x-5=0')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 5
Вы также можете вызвать функцию решения как —
y = solve('x-5 = 0')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
y = 5
Вы можете даже не включать правую часть уравнения —
solve('x-5')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 5
Если в уравнение входит несколько символов, то по умолчанию MATLAB предполагает, что вы решаете для x, однако функция решения имеет другую форму —
solve(equation, variable)
где вы также можете упомянуть переменную.
Например, давайте решим уравнение v — u — 3t 2 = 0, для v. В этом случае мы должны написать —
solve('v-u-3*t^2=0', 'v')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 3*t^2 + u
Решение основных алгебраических уравнений в октаве
Функция корней используется для решения алгебраических уравнений в Octave, и вы можете написать приведенные выше примеры следующим образом:
Например, давайте решим для х в уравнении х-5 = 0
roots([1, -5])
Octave выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 5
Вы также можете вызвать функцию решения как —
y = roots([1, -5])
Octave выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
y = 5
Решение квадратичных уравнений в MATLAB
Функция решения также может решать уравнения более высокого порядка. Он часто используется для решения квадратных уравнений. Функция возвращает корни уравнения в массиве.
В следующем примере решается квадратное уравнение x 2 -7x +12 = 0. Создайте файл сценария и введите следующий код —
eq = 'x^2 -7*x + 12 = 0'; s = solve(eq); disp('The first root is: '), disp(s(1)); disp('The second root is: '), disp(s(2));
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
The first root is: 3 The second root is: 4
Решение квадратичных уравнений в октаве
В следующем примере решается квадратное уравнение x 2 -7x +12 = 0 в октаве. Создайте файл сценария и введите следующий код —
s = roots([1, -7, 12]); disp('The first root is: '), disp(s(1)); disp('The second root is: '), disp(s(2));
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
The first root is: 4 The second root is: 3
Решение уравнений высшего порядка в MATLAB
Функция решения также может решать уравнения более высокого порядка. Например, давайте решим кубическое уравнение как (x-3) 2 (x-7) = 0
solve('(x-3)^2*(x-7)=0')
MATLAB выполнит приведенный выше оператор и вернет следующий результат —
ans = 3 3 7
В случае уравнений более высокого порядка корни длинные, содержащие много членов. Вы можете получить числовое значение таких корней, преобразовав их в двойные. В следующем примере решается уравнение четвертого порядка x 4 — 7x 3 + 3x 2 — 5x + 9 = 0.
Создайте файл сценария и введите следующий код —
eq = 'x^4 - 7*x^3 + 3*x^2 - 5*x + 9 = 0'; s = solve(eq); disp('The first root is: '), disp(s(1)); disp('The second root is: '), disp(s(2)); disp('The third root is: '), disp(s(3)); disp('The fourth root is: '), disp(s(4)); % converting the roots to double type disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1))); disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2))); disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3))); disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
Когда вы запускаете файл, он возвращает следующий результат —
The first root is: 6.630396332390718431485053218985 The second root is: 1.0597804633025896291682772499885 The third root is: - 0.34508839784665403032666523448675 - 1.0778362954630176596831109269793*i The fourth root is: - 0.34508839784665403032666523448675 + 1.0778362954630176596831109269793*i Numeric value of first root 6.6304 Numeric value of second root 1.0598 Numeric value of third root -0.3451 - 1.0778i Numeric value of fourth root -0.3451 + 1.0778i
Обратите внимание, что последние два корня являются комплексными числами.
Решение уравнений высшего порядка в октаве
В следующем примере решается уравнение четвертого порядка x 4 — 7x 3 + 3x 2 — 5x + 9 = 0.
Создайте файл сценария и введите следующий код —
v = [1, -7, 3, -5, 9]; s = roots(v); % converting the roots to double type disp('Numeric value of first root'), disp(double(s(1))); disp('Numeric value of second root'), disp(double(s(2))); disp('Numeric value of third root'), disp(double(s(3))); disp('Numeric value of fourth root'), disp(double(s(4)));
Когда вы запускаете файл, он возвращает следующий результат —
Numeric value of first root 6.6304 Numeric value of second root -0.34509 + 1.07784i Numeric value of third root -0.34509 - 1.07784i Numeric value of fourth root 1.0598
Решение системы уравнений в MATLAB
Функция решения также может быть использована для генерации решений систем уравнений, включающих более одной переменной. Давайте рассмотрим простой пример, чтобы продемонстрировать это использование.
Давайте решим уравнения —
5x + 9y = 5
3x — 6y = 4
Создайте файл сценария и введите следующий код —
s = solve('5*x + 9*y = 5','3*x - 6*y = 4'); s.x s.y
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
ans = 22/19 ans = -5/57
Таким же образом вы можете решать большие линейные системы. Рассмотрим следующую систему уравнений —
х + 3й -2z = 5
3x + 5y + 6z = 7
2x + 4y + 3z = 8
Решающая система уравнений в октаве
У нас есть немного другой подход к решению системы ‘n’ линейных уравнений с ‘n’ неизвестными. Давайте рассмотрим простой пример, чтобы продемонстрировать это использование.
Давайте решим уравнения —
5x + 9y = 5
3x — 6y = 4
Такая система линейных уравнений может быть записана в виде единого матричного уравнения Ax = b, где A — матрица коэффициентов, b — вектор столбцов, содержащий правую часть линейных уравнений, а x — вектор столбцов, представляющий решение как показано в программе ниже —
Создайте файл сценария и введите следующий код —
A = [5, 9; 3, -6]; b = [5;4]; A \ b
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
ans = 1.157895 -0.087719
Таким же образом, вы можете решить большие линейные системы, как указано ниже —
х + 3й -2z = 5
3x + 5y + 6z = 7
2x + 4y + 3z = 8
Разложение и сбор уравнений в MATLAB
Функция расширения и сбора расширяет и собирает уравнение соответственно. Следующий пример демонстрирует понятия —
Когда вы работаете со многими символическими функциями, вы должны объявить, что ваши переменные являются символическими.
Создайте файл сценария и введите следующий код —
syms x %symbolic variable x syms y %symbolic variable x % expanding equations expand((x-5)*(x+9)) expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7)) expand(sin(2*x)) expand(cos(x+y)) % collecting equations collect(x^3 *(x-7)) collect(x^4*(x-3)*(x-5))
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
ans = x^2 + 4*x - 45 ans = x^4 + x^3 - 43*x^2 + 23*x + 210 ans = 2*cos(x)*sin(x) ans = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y) ans = x^4 - 7*x^3 ans = x^6 - 8*x^5 + 15*x^4
Расширяя и собирая уравнения в октаве
Вам нужно иметь символьный пакет, который обеспечивает расширение и функцию сбора для расширения и сбора уравнения, соответственно. Следующий пример демонстрирует понятия —
Когда вы работаете со многими символическими функциями, вы должны объявить, что ваши переменные являются символическими, но у Octave другой подход к определению символических переменных. Обратите внимание на использование Sin и Cos , которые также определены в символической упаковке.
Создайте файл сценария и введите следующий код —
% first of all load the package, make sure its installed. pkg load symbolic % make symbols module available symbols % define symbolic variables x = sym ('x'); y = sym ('y'); z = sym ('z'); % expanding equations expand((x-5)*(x+9)) expand((x+2)*(x-3)*(x-5)*(x+7)) expand(Sin(2*x)) expand(Cos(x+y)) % collecting equations collect(x^3 *(x-7), z) collect(x^4*(x-3)*(x-5), z)
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —
ans = -45.0+x^2+(4.0)*x ans = 210.0+x^4-(43.0)*x^2+x^3+(23.0)*x ans = sin((2.0)*x) ans = cos(y+x) ans = x^(3.0)*(-7.0+x) ans = (-3.0+x)*x^(4.0)*(-5.0+x)
Факторизация и упрощение алгебраических выражений
Факторная функция разлагает выражение, а функция упрощения упрощает выражение. Следующий пример демонстрирует концепцию —
пример
Создайте файл сценария и введите следующий код —
syms x syms y factor(x^3 - y^3) factor([x^2-y^2,x^3+y^3]) simplify((x^4-16)/(x^2-4))
Когда вы запускаете файл, он показывает следующий результат —