В этой главе мы обсудим сортировку слиянием и проанализируем ее сложность.
Постановка задачи
Проблема сортировки списка чисел сразу поддается стратегии «разделяй и властвуй»: разбейте список на две половины, рекурсивно сортируйте каждую половину, а затем объедините два отсортированных подсписка.
Решение
В этом алгоритме числа хранятся в массиве numbers [] . Здесь p и q представляют начальный и конечный индексы подмассива.
Algorithm: Merge-Sort (numbers[], p, r)
if p < r then
q = ⌊(p + r) / 2⌋
Merge-Sort (numbers[], p, q)
Merge-Sort (numbers[], q + 1, r)
Merge (numbers[], p, q, r)
Function: Merge (numbers[], p, q, r)
n 1 = q – p + 1
n 2 = r – q
declare leftnums[1…n 1 + 1] and rightnums[1…n 2 + 1] temporary arrays
for i = 1 to n 1
leftnums[i] = numbers[p + i - 1]
for j = 1 to n 2
rightnums[j] = numbers[q+ j]
leftnums[n 1 + 1] = ∞
rightnums[n 2 + 1] = ∞
i = 1
j = 1
for k = p to r
if leftnums[i] ≤ rightnums[j]
numbers[k] = leftnums[i]
i = i + 1
else
numbers[k] = rightnums[j]
j = j + 1
Анализ
Рассмотрим время выполнения Merge-Sort как T (n) . Следовательно,
T (n) = \ begin {case} c & if \: n \ leqslant 1 \\ 2 \: x \: T (\ frac {n} {2}) + d \: x \: n & в противном случае \ end {case} , где c и d — константы
Следовательно, используя это рекуррентное соотношение,
T (n) = 2 ^ i T (\ frac {n} {2 ^ i}) + idn
As, i = log \: n, \: T (n) = 2 ^ {log \: n} T (\ frac {n} {2 ^ {log \: n}}) + log \: ndn
= \: cn + dnlog \: n
Следовательно, T (n) = O (n \: log \: n)
пример
В следующем примере мы продемонстрировали алгоритм Merge-Sort шаг за шагом. Во-первых, каждый итерационный массив делится на два вложенных массива, пока этот массив не содержит только один элемент. Когда эти подмассивы не могут быть разделены далее, выполняются операции слияния.