Ограничивающие суммы случайных величин: часть 2

Можно пойти дальше — намного дальше — на ограничивающие суммы случайных величин (упомянутых в предыдущем посте ). Например, если в предыдущем посте все было определено для распределений  , можно расширить границы распределений для  . Особенно, если мы имеем дело с квантилями. Все, что мы видели, остается в силе. Рассмотрим, например, два   распределения. Используя предыдущий код, можно вычислить оценки для квантилей суммы двух гауссовых переменных. И нужно помнить, что эти границы четкие.

> Finv=function(u) qnorm(u,0,1)
> Ginv=function(u) qnorm(u,0,1)
> n=1000
> Qinf=Qsup=rep(NA,n-1)
> for(i in 1:(n-1)){
+ J=0:i
+ Qinf[i]=max(Finv(J/n)+Ginv((i-J)/n))
+ J=(i-1):(n-1)
+ Qsup[i]=min(Finv((J+1)/n)+Ginv((i-1-J+n)/n))
+ }

На самом деле, здесь можно сравнить с двумя простыми случаями: независимый случай, когда сумма имеет   распределение, и комонотонный случай, когда сумма имеет   распределение.

>  lines(x,qnorm(x,sd=sqrt(2)),col="blue",lty=2)
>  lines(x,qnorm(x,sd=2),col="blue",lwd=2)

На приведенном ниже графике комонотонный случай (обычно рассматриваемый как сценарий наихудшего случая) представляет собой простую синюю линию (здесь показана анимация, иллюстрирующая сходимость численного алгоритма)

Ниже этой (сильной) синей линии риски субаддитивны для значения риска, т.е.

но выше, риски супераддитивны для стоимости на риск. т.е.

(поскольку для комонотонных вариаций квантиль суммы является суммой квантилей). Можно представить эти два случая выше, выделив зеленым цветом область, где риски являются сверхаддитивными, в то время как желтая область означает, что риски являются субаддитивными.

Напомним, что с гауссовским случайным вектором, с корреляцией, тогда квантиль является квантилем случайной величины, центрированной с дисперсией . Таким образом, на графике ниже мы можем визуализировать случай, который можно получить с помощью этой гауссовой связки. Здесь желтая область может быть получена с помощью гауссовых связок, верхняя и нижняя границы являются соответственно комонотонным и контрмононным случаями.

Но зеленая область также может быть получена, когда мы суммируем две гауссовские переменные! Нам просто нужно выйти за пределы гауссовского мира и рассмотреть еще одну связку.

Другое дело, что в предыдущем посте была нижняя граница Фреше-Хеффдинга на множестве связок. Но все предыдущие результаты остаются в силе , если это нижняя граница множества связках интересов. Особенно

> Qinfind=Qsupind=rep(NA,n-1)
> for(i in 1:(n-1)){
+  J=1:(i)
+  Qinfind[i]=max(Finv(J/n)+Ginv((i-J)/n/(1-J/n)))
+  J=(i):(n-1)
+  Qsupind[i]=min(Finv(J/n)+Ginv(i/J))
+ }

> Qinfind[u==.75]
[1] 0