Ограничивающие суммы случайных величин: часть 1

Для последнего курса MAT8886 этого (длинного) зимнего сеанса по связкам (и крайним значениям) мы обсудим агрегацию рисков. Курс будет в основном посвящен проблеме ограничения распределения (или некоторой меры риска, скажем, Value-at-Risk) для двух случайных величин с заданным предельным распределением. Например, у нас есть два гауссовских риска. Какой может быть наихудший сценарий для квантиля 99% суммы? Обратите внимание, что я упоминаю последствия с точки зрения управления рисками, но, конечно, эти вопросы чрезвычайно важны с точки зрения статистического вывода, см., Например, Fan & Park (2006) .

Эта проблема иногда связана с каким-то вопросом, заданным Колмогоровым почти сто лет назад, как упоминалось у Макарова (1981) . Через год Рюшендорф (1982) также предложил доказательство расчета границ. Здесь мы сосредоточимся на измерении 2. Как обычно, это простой случай. Но, как упоминалось недавно, в Kreinovich & Ferson (2005) , в измерении 3 (или выше), « вычисление наилучших возможных границ для произвольного n является NP-сложной (вычислительно неразрешимой) задачей ». Итак, давайте сосредоточимся на случае, когда мы суммируем (только) две случайные величины (для тех, кто интересуется более высокой размерностью, Puccetti & Rüschendorf (2012) предоставили интересные результаты для двойной версии этих оптимальных границ).

Обозначим через множество одномерной непрерывной функции распределения, непрерывной слева, на . И множество раздач по . Таким образом, если и . Рассмотрим теперь два распределения . В очень общем случае можно рассматривать операторы на . Итак, позвольте обозначить оператор, увеличивающийся в каждом компоненте, таким образом, что . И рассмотрим некоторую функцию, которая, как предполагается, также увеличивается в каждом компоненте (и непрерывна). Для таких функций и определите следующий (общий) оператор, как

Один интересный случай может быть получен , когда это копула, . В этом случае,

и далее можно написать

Также можно рассмотреть другие (общие) операторы, например, на основе суммы

или по минимуму,

где это копула выживание связано с , то есть . Обратите внимание, что эти операторы могут использоваться для определения функций распределения, т.е.

и аналогично

Все это кажется слишком теоретическим? Приложением может быть случай суммы, т. Е. В этом случае есть распределение суммы двух случайных величин с маргинальными распределениями и , и связка . Таким образом, это просто свертка двух распределений,

Важный результат (который можно найти в главе 7, в работе Schweizer and Sklar (1983) ) заключается в том, что, учитывая оператор , для любой связки можно найти нижнюю оценку для

а также верхняя граница

Эти неравенства исходят из того , что для все связки , где есть связка. Поскольку эта функция не является связкой в ​​более высоком измерении, можно легко представить, что получить эти границы в более высоком измерении будет намного сложнее …

В случае суммы двух случайных величин, с предельными распределениями и , границы для распределения суммы , где и , могут быть записаны

для нижней границы, и

для верхней границы. И эти границы четкие, в том смысле, что для всех существует связка такая, что

и есть (другая) связка такая, что

Таким образом, используя эти результаты, можно связать накопительную функцию распределения. Но на самом деле все это можно сделать и на квантилях (см. Frank, Nelsen & Schweizer (1987)). Для всех пусть обозначает его обобщенный обратный, слева непрерывный, и пусть обозначает множество этих функций квантиль. Определите тогда двойные версии наших операторов,

и

Эти определения действительно двойственные версии предыдущих, в том смысле, что и .

Обратите внимание, что если мы сосредоточимся на суммах двумерных распределений, нижняя граница квантиля суммы

в то время как верхняя граница

Самое замечательное то, что не должно быть слишком сложно вычислять эти количества численно. Возможно, немного больше для кумулятивных функций распределения, поскольку они не определены на ограниченной основе. Но, тем не менее, если целью является, например, наложение этих границ  . Код следующий для суммы двух логнормальных распределений  .

> F=function(x) plnorm(x,0,1)
> G=function(x) plnorm(x,0,1)
> n=100
> X=seq(0,10,by=.05)
> Hinf=Hsup=rep(NA,length(X))
> for(i in 1:length(X)){
+ x=X[i]
+ U=seq(0,x,by=1/n); V=x-U
+ Hinf[i]=max(pmax(F(U)+G(V)-1,0))
+ Hsup[i]=min(pmin(F(U)+G(V),1))}

Если мы построим эти границы, мы получим:

> plot(X,Hinf,ylim=c(0,1),type="s",col="red")
> lines(X,Hsup,type="s",col="red")

Но каким-то образом работать с квантилями еще проще, поскольку они определены на конечной опоре. Квантили здесь:

> Finv=function(u) qlnorm(u,0,1)
> Ginv=function(u) qlnorm(u,0,1)

Идея будет состоять в том, чтобы рассмотреть дискретизированную версию единичного интервала, как обсуждалось в Williamson (1989) , в гораздо более общем контексте. Опять же, идея состоит в том, чтобы вычислить, например,

Идея заключается в том , чтобы рассмотреть и , а граница для функции квантили в точке тогда

Код для вычисления этих границ для заданного здесь:

> n=1000
> Qinf=Qsup=rep(NA,n-1)
> for(i in 1:(n-1)){
+ J=0:i
+ Qinf[i]=max(Finv(J/n)+Ginv((i-J)/n))
+ J=(i-1):(n-1)
+ Qsup[i]=min(Finv((J+1)/n)+Ginv((i-1-J+n)/n))
+ }

Здесь мы имеем (несколько s были рассмотрены, так что мы можем визуализировать сходимость этого численного алгоритма),

Здесь у нас есть простой код для визуализации границ квантилей на сумму двух рисков. Но можно пойти дальше …