Резервирование с отрицательными приращениями в треугольниках

Несколько месяцев назад я опубликовал  пост  об отрицательных значениях в треугольниках и о том, как с ними бороться, используя регрессию Пуассона (пост был опубликован на французском языке). Идея заключалась в том, чтобы использовать  технику перевода :

1. Подогнать модель не на  х, а на  некоторых  ,
2. Используйте эту модель, чтобы делать прогнозы, а затем переводить эти прогнозы, 

Это то, что было сделано, чтобы получить следующий график, где была установлена ​​регрессия Пуассона. Черные точки —  это, а синие —  для некоторых  . Мы подбираем модель для получения синего прогноза, а затем переводим его, чтобы получить красный прогноз (на  рис.).

В этом примере не было отрицательных значений, но его можно использовать, чтобы лучше понять влияние этого метода. Здесь прогноз — красная линия. Очевидно, что значение   оказывает влияние на прогноз (поскольку здесь мы не рассматриваем линейную модель: при линейной модели перевод вообще не влияет, кроме как на перехват).

Альтернатива, упомянутая в предыдущем посте, состояла в том, чтобы использовать эту технику в нескольких  , и они интерполируют

1. Для данного  , подобрать модель не на  «s , но на  , что использование модели для прогнозирования, а затем перевести эти предсказания,  .
2. Сделай это за несколько  секунд.
3. Используйте его, чтобы экстраполировать, когда   есть   (что является интересующим нас случаем).

В контексте резервирования убытков идея предельно проста. Рассмотрим треугольник с пошаговыми выплатами

> source("http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/bases.R")
> Y=T=PAID
> n=ncol(T)
> Y[,2:n]=T[,2:n]-T[,1:(n-1)]   
> Y
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 3209 1163   39   17    7   21
[2,] 3367 1292   37   24   10   NA
[3,] 3871 1474   53   22   NA   NA
[4,] 4239 1678  103   NA   NA   NA
[5,] 4929 1865   NA   NA   NA   NA
[6,] 5217   NA   NA   NA   NA   NA

Здесь у нас нет отрицательных значений, но мы все еще можем видеть, могут ли быть использованы методы перевода. Эталоном является регрессия Пуассона, поскольку мы можем запустить ее:

> y=as.vector(as.matrix(Y))
> base=data.frame(y,ai=rep(2000:2005,n),bj=rep(0:(n-1),each=n))
> reg=glm(y~as.factor(ai)+as.factor(bj),data=base,family=poisson)

Здесь сумма резерва представляет собой сумму прогнозируемых значений в нижней части треугольника,

> py=predict(reg,newdata=base,type="response")
> sum(py[is.na(base$y)])
[1] 2426.985

что является точной оценкой цепной лестницы.

Теперь давайте воспользуемся техникой перевода для подсчета суммы резервов. Код будет

> decal=function(k){
+ reg=glm(y+k~as.factor(ai)+as.factor(bj),data=base,family=poisson)
+ py=predict(reg,newdata=base,type="response")
+ return(sum(py[is.na(base$y)]-k))

Например, если мы переведем +5, мы получим

> decal(5)
[1] 2454.713

в то время как перевод +10 вернется

> decal(10)
[1] 2482.29

Очевидно, что переводы влияют на оценку. Здесь, просто чтобы проверить, если мы не переводим, у нас есть оценка цепной лестницы,

> decal(0)
[1] 2426.985

Идея, упомянутая в предыдущем посте, состояла в том, чтобы попробовать несколько переводов, а затем экстраполировать, чтобы получить значение в 0. Здесь переводы дадут следующие оценки

> K=10:20
> (V=Vectorize(decal)(K))
 [1] 2482.290 2487.788 2493.279 2498.765 2504.245 2509.719 2515.187 2520.649
 [9] 2526.106 2531.557 2537.001

Мы можем построить эти значения и запустить регрессию

> plot(K,V,xlim=c(0,20),ylim=c(2425,2540))
> abline(h=decal(0),col="red",lty=2)

пунктирная горизонтальная линия — цепная лестница. Теперь давайте экстраполируем

> b=data.frame(K=K,D=V)
> rk=lm(D~K,data=b)
> predict(rk,newdata=data.frame(K=0))
       1 
2427.623

Он должен признать, что это не так уж плохо. Но вчера вечером Карим спросил меня,  почему  я использовал линейную регрессию для моей экстраполяции. И если честно, я не знаю. Я имею в виду, единственный ответ может быть, что точки почти на прямой линии. Поэтому, когда я впервые увидел это, я был взволнован и запустил линейную регрессию.

Теперь давайте посмотрим, сможем ли мы сделать лучше. Потому что здесь мы используем перевод +10 или +20 (который может быть довольно маленьким). Что если мы используем гораздо большие значения? (потому что у нас могут быть большие отрицательные инкрементные значения). С помощью следующего кода мы пытаемся каждый раз 11 последовательных значений, наименьшее из которых идет от 0 до 50,

> hausse=1:50; res=rep(NA,50)
> for(k in hausse){
+ VK=k:(10+k)
+ b=data.frame(K=VK,D=Vectorize(decal)(VK))
+ rk=lm(D~K,data=b)
+ res[k]=predict(rk,newdata=data.frame(K=0))
+ }     
> plot(hausse,res,type="l",col="red",ylim=c(2422,2440))
> abline(rk,col="blue")

Здесь мы вычисляем резервы, когда экстраполяции были сделаны после 11 переводов, с   на  . С разными значениями  . Случай, где   десять, был упомянут выше,

> res[hausse==10]
[1] 2427.623

На самом деле, также возможно рассмотреть не 11 переводов, а 26, от   до  . Здесь мы получаем

> hausse=1:50; res=rep(NA,50)
> for(k in hausse){
+ VK=k:(25+k)
+ b=data.frame(K=VK,D=Vectorize(decal)(VK))
+ rk=lm(D~K,data=b)
+ res[k]=predict(rk,newdata=data.frame(K=0))
+ }   
> lines(hausse,res,type="l",col="blue",lty=2)

Теперь у нас есть пунктирная линия

> hausse=1:50; res=rep(NA,50)
> for(k in hausse){
+ VK=k:(10+k)
+ b=data.frame(K=VK,D=Vectorize(decal)(VK))
+ rk=glm(D~K,data=b,family=poisson)
+ res[k]=predict(rk,newdata=data.frame(K=0),type="response")
+ }         
> lines(hausse,res,type="l",col="purple")

> hausse=1:50; res=rep(NA,50)
> for(k in hausse){
+ VK=k:(10+k)
+ b=data.frame(K=VK,D=Vectorize(decal)(VK))
+ rk=glm(D~K,data=b,family=poisson(link=
+ power(lambda = 2)))
+ res[k]=predict(rk,newdata=data.frame(K=0),type="response")
+ }     
> lines(hausse,res,type="l",col="orange")

> hausse=1:50; res=rep(NA,50)
> for(k in hausse){
+ VK=k:(10+k)
+ b=data.frame(K=VK,D=Vectorize(decal)(VK))
+ rk=glm(D~K,data=b,family=poisson(link=
+ power(lambda = 1.5)))
+ res[k]=predict(rk,newdata=data.frame(K=0),type="response")
+ }         
> lines(hausse,res,type="l",col="green")