Рациональность и MS Excel (и другие калькуляторы)

Этим утром Матье получил хороший опыт в своем курсе  вычислительных методов в актуарной науке . Но давайте начнем с некоторых математических формальных определений.

Во-первых, вспомните, что   это — как-то — стандартное выражение. Никто не должен удивляться, увидев такое выражение. Как правило (как описано в  http://en.wikipedia.org/…  ), эта функция определяется только тогда, когда  . Идея заключается в том , что  определение  о   том , что

И это  определение . Такая функция существует только если   (возможно, исключая  ). Это было бы стандартным определением в реальном анализе.

Теперь эта функция «сила» появляется и в комплексном анализе, когда речь идет о единичных корнях. От случая, если  , где   и  , для некоторых  , тогда  . Таким образом, в комплексном анализе может быть сложнее определить правильно,   поскольку он может быть не уникальным. Но мы можем связать (иногда, когда   инверсия целого числа или, может быть, рациональное число?) С корнями полиномиальных функций. Пока что ничего нового…

Вернемся к проблеме Матье. На самом деле, в своем курсе, он хотел вычислить  . С французской версией Excel введите

ты получаешь  . Если вы посмотрите на окно «Помощь», у вас есть еще несколько деталей

Похоже , эта  шляпа  функция может быть использована для определения объектов , таких как  . Но с

ты получаешь

(имеется в виду, что это проблема …). Также можно использовать   функцию power  ( puissance in French) Excel,

Здесь вы также получите

Странная часть здесь является то, что в окне «помощи», вы можете прочитать , что эта  сила  функция может быть использована с любым числом в  .

Еще один момент … как насчет   ? Каким-то образом это просто квадрат предыдущего (с дробью) … Здесь, набрав

ты получаешь

(аналогично с степенной функцией). Ясно, что не так просто использовать эту функцию мощности. Теперь, если вы используете  Google  (который теперь является моим новым онлайн-калькулятором, когда я нахожусь в классе, когда я не могу использовать R), если мощность является дробной (или, если быть более точным, обратная величина от целого числа), то она работает как превосходить

ты получаешь

 Но если вы печатаете (что должно быть близко, из свойства непрерывности степенной функции)

ты получаешь

и аналогично

В  Wolfram Mathworld введите

Mathematica признает, что мы пытаемся иметь дело с единичными корнями: результат здесь

с — как и ожидалось — числовым приближением

С Matlab Матье получил то же самое, что и Mathematica (его десятичное приближение). И в заключение, с R, Матье получил

> (-8)^(1/3)
[1] NaN
> (-8)^(.333333333333333)
[1] NaN

Поэтому для R вы не можете использовать эту функцию с отрицательными числами.

Теперь, как мы можем интерпретировать эти результаты?

1) Я понимаю, что с MS Excel,  поскольку

что проблематично. Например, в страховании с ежемесячными скидками у нас есть такие функции, как  . Что если

2) Проблема возникает — вероятно (MS Excel не является открытым программным обеспечением, поэтому его может быть трудно проверить) — из-за того факта, что   интерпретируется как обратная (возможно) биективная функция. Чтобы быть более конкретным,  значит это  . Когда   нечетное целое число, то (в реальном анализе) существует однозначное обратное, и, таким образом,   оно однозначно определено, поскольку   является биективной   функцией. Это то , что делают MS Excel (и Google):   биективная   функция, так   означает , что мы должны найти  уникальное значение (реального)   таким образом, что  . Таким образом, почему-то имеет смысл вернуться  .

> polyroot(c(8,0,0,1))
[1]  1+1.732051i -2+0.000000i  1-1.732051i