Учебники

Операторы и постулаты

Теория групп – это раздел математики и абстрактной алгебры, который определяет алгебраическую структуру, называемую группой . Обычно группа состоит из набора элементов и операции над любыми двумя элементами в этом наборе, чтобы сформировать третий элемент также в этом наборе.

В 1854 году Артур Кейли, британский математик, впервые дал современное определение группы –

«Набор символов, каждый из которых различен, и такой, что произведение любых двух из них (независимо от того, в каком порядке) или произведение любого из них на себя, принадлежит множеству, называется группой , Эти символы не являются вообще конвертируемыми [коммутативными], но являются ассоциативными ».

«Набор символов, каждый из которых различен, и такой, что произведение любых двух из них (независимо от того, в каком порядке) или произведение любого из них на себя, принадлежит множеству, называется группой , Эти символы не являются вообще конвертируемыми [коммутативными], но являются ассоциативными ».

В этой главе мы узнаем об операторах и постулатах, которые составляют основы теории множеств, теории групп и булевой алгебры.

Любой набор элементов в математической системе может быть определен с помощью набора операторов и ряда постулатов.

Бинарный оператор, определенный для набора элементов, – это правило, которое присваивает каждой паре элементов уникальный элемент из этого набора. Например, если задано множество A= lbrace1,2,3,4,5 rbrace, мы можем сказать, что  otimes – бинарный оператор для операции c=a otimesb, если он указывает правило для нахождения c для пары (a,b), такой, что a,b,c inA.

Постулаты математической системы формируют основные предположения, из которых можно вывести правила. Постулаты –

закрытие

Множество замкнуто относительно бинарного оператора, если для каждой пары элементов в наборе оператор находит уникальный элемент из этого набора.

пример

Пусть A= lbrace0,1,2,3,4,5, dots rbrace

Этот набор замкнут относительно бинарного оператора в ( ast), потому что для операции c=a astb для любого a,b inA произведение c inA.

Множество не замкнуто относительно бинарного оператора деления ( div), потому что для операции c=a divb для любого a,b inA произведение c может не входить в множество A. Если a=7,b=2, то c=3.5. Здесь a,b inA, но c notinA.

Ассоциативные законы

Бинарный оператор  otimes на множестве A является ассоциативным, если он обладает следующим свойством:

(x otimesy) otimesz=x otimes(y otimesz), где x,y,z inA

пример

Пусть A= lbrace1,2,3,4 rbrace

Оператор plus (+) является ассоциативным, поскольку для любых трех элементов x,y,z inA выполняется свойство (x+y)+z=x+(y+z).

Оператор минус () не ассоциативен, так как

(xy)z nex(yz)

Коммутативные законы

Бинарный оператор  otimes на множестве A является коммутативным, если он обладает следующим свойством:

x otimesy=y otimesx, где x,y inA

пример

Пусть A= lbrace1,2,3,4 rbrace

Оператор plus (+) является коммутативным, поскольку для любых двух элементов x,y inA выполняется свойство x+y=y+x.

Оператор минус () не ассоциативен, так как

xy neyx

Распределительные законы

Два бинарных оператора \ otimes и \ circledast на множестве A являются дистрибутивными по оператору \ circledast , когда выполняется следующее свойство –

x \ otimes (y \ circledast z) = (x \ otimes y) \ circledast (x \ otimes z) , где x, y, z \ in A

пример

Пусть A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace

Операторы в (*) и плюс (+) являются дистрибутивными по оператору +, потому что для любых трех элементов x, y, z \ in A свойство x * (y + z) = (x * y) + (x * z) .

Однако эти операторы не являются дистрибутивными по * , так как

x + (y * z) \ ne (x + y) * (x + z)

Элемент идентичности

Множество A имеет единичный элемент относительно бинарной операции \ otimes на A, если существует элемент e \ in A , такой, что выполняется следующее свойство:

e \ otimes x = x \ otimes e , где x \ in A

пример

Пусть Z = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace

Элемент 1 является единичным элементом относительно операции * , поскольку для любого элемента x \ in Z ,

1 * x = x * 1

С другой стороны, для операции нет минус (-) .

обратный

Если множество A имеет единичный элемент e относительно бинарного оператора \ otimes , говорят, что оно имеет обратное значение всякий раз, когда для каждого элемента x \ in A существует другой элемент y \ in A . так, что имеет место следующее свойство:

x \ otimes y = e

пример

Пусть A = \ lbrace \ dots -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace

Учитывая операцию плюс (+) и e = 0 , обратный элемент любого элемента x равен (- x) , так как x + (x) = 0

Закон де Моргана

Законы де Моргана дают пару преобразований между объединением и пересечением двух (или более) множеств с точки зрения их дополнений. Законы –

(A \ cup B) ‘= A’ \ cap B ‘

(A \ cap B) ‘= A’ \ cup B ‘

пример

Пусть A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace, B = \ lbrace 1, 3, 5, 7 \ rbrace , и

Универсальный набор U = \ lbrace 1, 2, 3, \ dots, 9, 10 \ rbrace

A ‘= \ lbrace 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace

B ‘= \ lbrace 2, 4, 6, 8, 9, 10 \ rbrace

A \ cup B = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 7 \ rbrace

A \ cap B = \ lbrace 1, 3 \ rbrace

(A \ cup B) ‘= \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace

A ‘\ cap B’ = \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace

Таким образом, мы видим, что (A \ cup B) ‘= A’ \ cap B ‘

(A \ cap B) ‘= \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace

A ‘\ cup B’ = \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace

Таким образом, мы видим, что (A \ cap B) ‘= A’ \ cup B ‘