Операторы и постулаты

Теория групп — это раздел математики и абстрактной алгебры, который определяет алгебраическую структуру, называемую группой . Обычно группа состоит из набора элементов и операции над любыми двумя элементами в этом наборе, чтобы сформировать третий элемент также в этом наборе.

В 1854 году Артур Кейли, британский математик, впервые дал современное определение группы —

«Набор символов, каждый из которых различен, и такой, что произведение любых двух из них (независимо от того, в каком порядке) или произведение любого из них на себя, принадлежит множеству, называется группой , Эти символы не являются вообще конвертируемыми [коммутативными], но являются ассоциативными ».

«Набор символов, каждый из которых различен, и такой, что произведение любых двух из них (независимо от того, в каком порядке) или произведение любого из них на себя, принадлежит множеству, называется группой , Эти символы не являются вообще конвертируемыми [коммутативными], но являются ассоциативными ».

В этой главе мы узнаем об операторах и постулатах, которые составляют основы теории множеств, теории групп и булевой алгебры.

Любой набор элементов в математической системе может быть определен с помощью набора операторов и ряда постулатов.

Бинарный оператор, определенный для набора элементов, — это правило, которое присваивает каждой паре элементов уникальный элемент из этого набора. Например, если задано множество $A = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \ rbrace$, мы можем сказать, что $\ otimes$ — бинарный оператор для операции $c = a \ otimes b$, если он указывает правило для нахождения c для пары $(a, b)$, такой, что $a, b, c \ in A$.

Постулаты математической системы формируют основные предположения, из которых можно вывести правила. Постулаты —

закрытие

Множество замкнуто относительно бинарного оператора, если для каждой пары элементов в наборе оператор находит уникальный элемент из этого набора.

пример

Пусть $A = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace$

Этот набор замкнут относительно бинарного оператора в $(\ ast)$, потому что для операции $c = a \ ast b$ для любого $a, b \ in A$ произведение $c \ in A$.

Множество не замкнуто относительно бинарного оператора деления $(\ div)$, потому что для операции $c = a \ div b$ для любого $a, b \ in A$ произведение c может не входить в множество A. Если $a = 7, b = 2$, то $c = 3.5$. Здесь $a, b \ in A$, но $c \ notin A$.

Ассоциативные законы

Бинарный оператор $\ otimes$ на множестве A является ассоциативным, если он обладает следующим свойством:

$(x \ otimes y) \ otimes z = x \ otimes (y \ otimes z)$, где $x, y, z \ in A$

пример

Пусть $A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace$

Оператор plus $(+)$ является ассоциативным, поскольку для любых трех элементов $x, y, z \ in A$ выполняется свойство $(x + y) + z = x + (y + z)$.

Оператор минус $(-)$ не ассоциативен, так как

$$(x - y) - z \ ne x - (y - z)$$

Коммутативные законы

Бинарный оператор $\ otimes$ на множестве A является коммутативным, если он обладает следующим свойством:

$x \ otimes y = y \ otimes x$, где $x, y \ in A$

пример

Пусть $A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace$

Оператор plus $(+)$ является коммутативным, поскольку для любых двух элементов $x, y \ in A$ выполняется свойство $x + y = y + x$.

Оператор минус $(-)$ не ассоциативен, так как

$$x - y \ ne y - x$$

Распределительные законы

Два бинарных оператора $\ otimes$ и $\ circledast$ на множестве A являются дистрибутивными по оператору $\ circledast$, когда выполняется следующее свойство —

$x \ otimes (y \ circledast z) = (x \ otimes y) \ circledast (x \ otimes z)$, где $x, y, z \ in A$

пример

Пусть $A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace$

Операторы в $(*)$ и плюс $(+)$ являются дистрибутивными по оператору +, потому что для любых трех элементов $x, y, z \ in A$ свойство $x * (y + z) = (x * y) + (x * z)$.

Однако эти операторы не являются дистрибутивными по $*$, так как

$$x + (y * z) \ ne (x + y) * (x + z)$$

Элемент идентичности

Множество A имеет единичный элемент относительно бинарной операции $\ otimes$ на A, если существует элемент $e \ in A$, такой, что выполняется следующее свойство:

$e \ otimes x = x \ otimes e$, где $x \ in A$

пример

Пусть $Z = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace$

Элемент 1 является единичным элементом относительно операции $*$, поскольку для любого элемента $x \ in Z$,

$$1 * x = x * 1$$

С другой стороны, для операции нет минус $(-)$.

обратный

Если множество A имеет единичный элемент $e$ относительно бинарного оператора $\ otimes$, говорят, что оно имеет обратное значение всякий раз, когда для каждого элемента $x \ in A$ существует другой элемент $y \ in A$. так, что имеет место следующее свойство:

$$x \ otimes y = e$$

пример

Пусть $A = \ lbrace \ dots -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace$

Учитывая операцию плюс $(+)$ и $e = 0$, обратный элемент любого элемента x равен $(- x)$, так как $x + (x) = 0$

Закон де Моргана

Законы де Моргана дают пару преобразований между объединением и пересечением двух (или более) множеств с точки зрения их дополнений. Законы —

$$(A \ cup B) '= A' \ cap B '$$

$$(A \ cap B) '= A' \ cup B '$$

пример

Пусть $A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace, B = \ lbrace 1, 3, 5, 7 \ rbrace$, и

Универсальный набор $U = \ lbrace 1, 2, 3, \ dots, 9, 10 \ rbrace$

$A '= \ lbrace 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace$

$B '= \ lbrace 2, 4, 6, 8, 9, 10 \ rbrace$

$A \ cup B = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 7 \ rbrace$

$A \ cap B = \ lbrace 1, 3 \ rbrace$

$(A \ cup B) '= \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace$

$A '\ cap B' = \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace$

Таким образом, мы видим, что $(A \ cup B) '= A' \ cap B '$

$(A \ cap B) '= \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace$

$A '\ cup B' = \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace$

Таким образом, мы видим, что $(A \ cap B) '= A' \ cup B '$