Дискретная математика — Функции

Функция назначает каждому элементу набора ровно один элемент связанного набора. Функции находят свое применение в различных областях, таких как представление вычислительной сложности алгоритмов, подсчет объектов, изучение последовательностей и строк и многое другое. Третья и последняя глава этой части освещает важные аспекты функций.

Функция — Определение

Функция или отображение (определенное как $f: X \ rightarrow Y$) представляет собой отношение элементов одного набора X к элементам другого набора Y (X и Y являются непустыми наборами). X называется Доменом, а Y — Кодоменом функции ‘f’.

Функция ‘f’ представляет собой отношение на X и Y такое, что для каждого $x \ in X$ существует единственный $y \ in Y$, такой что $(x, y) \ in R$. «x» называется предварительным изображением, а «y» — изображением функции f.

Функция может быть один к одному или много к одному, но не один ко многим.

Инъективная / индивидуальная функция

Функция $f: A \ rightarrow B$ является инъективной или взаимно-однозначной функцией, если для каждого $b \ in B$ существует не более одного $a \ in A$, такого что $f (s) = t$ ,

Это означает, что функция f инъективна, если из $a_1 \ ne a_2$ следует $f (a1) \ ne f (a2)$.

пример

• $f: N \ rightarrow N, f (x) = 5x$ инъективно.

• $f: N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2$ инъективно.

• $f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2$ не является инъективным, так как $(- x) ^ 2 = x ^ 2$

$f: N \ rightarrow N, f (x) = 5x$ инъективно.

$f: N \ rightarrow N, f (x) = x ^ 2$ инъективно.

$f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2$ не является инъективным, так как $(- x) ^ 2 = x ^ 2$

Surctive / Onto function

Функция $f: A \ rightarrow B$ сюръективна (на), если образ f равен его диапазону. Эквивалентно, для каждого $b \ in B$ существует такой $a \ in A$, что $f (a) = b$. Это означает, что для любого y в B существует такое x в A, что $y = f (x)$.

пример

• $f: N \ rightarrow N, f (x) = x + 2$ сюръективно.

• $f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2$ не сюръективно, поскольку мы не можем найти вещественное число, квадрат которого отрицателен.

$f: N \ rightarrow N, f (x) = x + 2$ сюръективно.

$f: R \ rightarrow R, f (x) = x ^ 2$ не сюръективно, поскольку мы не можем найти вещественное число, квадрат которого отрицателен.

Биектив / Один-на-один Корреспондент

Функция $f: A \ rightarrow B$ является биективной или взаимно-однозначной, если и только если f одновременно инъективна и сюръективна.

проблема

Докажите, что функция $f: R \ rightarrow R$, определенная как $f (x) = 2x - 3$, является биективной функцией.

Пояснение — Мы должны доказать, что эта функция является и инъективной, и сюръективной.

Если $f (x_1) = f (x_2)$, то $2x_1 - 3 = 2x_2 - 3$, и это означает, что $x_1 = x_2$.

Следовательно, f инъективен .

Здесь $2x - 3 = y$

Итак, $x = (y + 5) / 3$, принадлежащая R, и $f (x) = y$.

Следовательно, f сюръективно .

Поскольку f одновременно сюръективен и инъективен , мы можем сказать, что f биективен .

Обратная функция

Обратной к функции «один к одному» $f: A \ rightarrow B$, является функция $g: B \ rightarrow A$, обладающая следующим свойством:

$f (x) = y \ Leftrightarrow g (y) = x$

Функция f называется обратимой , если существует ее обратная функция g.

пример

• Функция $f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5$, обратима, поскольку имеет обратную функцию $g: Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5$.

• Функция $f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2$ не является обратимой, поскольку она не взаимно-однозначна, как $(- x) ^ 2 = x ^ 2$.

Функция $f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x + 5$, обратима, поскольку имеет обратную функцию $g: Z \ rightarrow Z, g (x) = x-5$.

Функция $f: Z \ rightarrow Z, f (x) = x ^ 2$ не является обратимой, поскольку она не взаимно-однозначна, как $(- x) ^ 2 = x ^ 2$.

Композиция функций

Две функции $f: A \ rightarrow B$ и $g: B \ rightarrow C$ могут быть составлены так, чтобы получить композицию $gof$. Это функция из A в C, определяемая как $(gof) (x) = g (f (x))$

пример

Пусть $f (x) = x + 2$ и $g (x) = 2x + 1$, найдите $(туман) (x)$ и $(gof) (x)$.

Решение

$(туман) (x) = f (g (x)) = f (2x + 1) = 2x + 1 + 2 = 2x + 3$

$(gof) (x) = g (f (x)) = g (x + 2) = 2 (x + 2) + 1 = 2x + 5$

Следовательно, $(туман) (x) \ neq (gof) (x)$

Если f и g взаимно однозначны, то функция $(gof)$ также взаимно однозначна.

Если f и g на, то функция $(gof)$ также на.

Композиция всегда обладает ассоциативным свойством, но не обладает коммутативным свойством.